Геометрический смысл понятия производной

Вступление

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной,какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.

 

1. Определение производной

 

Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Для любой точки х из этой окрестности приращение D x определяется формулой D x=х – х₀, откуда х=х₀+ D x.

Приращением функции y=f(x) в точке х₀ называется разность

 

D у=f(x) – f(x₀)=f(x₀+ D x) – f(x₀).

Производной от функции у=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (), когда приращение аргумента стремится к нулю (D x → 0).

Производная функции у=f(x) в точке х₀ обозначается y'(х₀) или f'(х₀). Определение производной можно записать в виде формулы:

 

'()= = .

 

Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х₀. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.

Конечно,  может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х₀. Если  равен  или , то говорят, что функция f(x) имеет в точке х₀ бесконечную производную (равную  или , соответственно).

Геометрический смысл понятия производной

 

Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x) (см. рис. 1).

Рассмотрим на графике кривой точки M_o(x_o;f(x_o)) и M₁(x_o+Dx; f(x_o+Dx)). Проведем секущую M_oM₁. Пусть – угол наклона секущей M_oM₁ относительно оси 0х. Если существует предел , то прямая, проходящая через M_o и образующая с осью 0х угол , называется касательной к графику данной кривой в точке M_o. Таким образом, под касательной к кривой y=f(х) в точке M_o естественно понимать предельное положение секущей M_oM₁, к которому она стремится, когда D x ® 0.

Пусть N(x_o+Dx; f(x_o)) – точка, дополняющая отрезок M_oM₁ до прямоугольного треугольника M_oM₁N. Так как сторона M_oN параллельна оси 0 х, то

 

 

Переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при D x → 0, получим

 

 

Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f’(x₀) – это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику y=f(х) в точке (x_o; f(x_o)).

Найдём уравнение касательной к графику в точке M_o(x_o; f(x_o)) в виде y=kx+b. Так как M_o f(x), то должно выполняться равенство f(x₀)=kx₀+b, откуда b= f(x₀) – kx₀. Следовательно, касательная задаётся уравнением

y=kx+f(x₀) – kx₀=f(x₀)+k(x – x₀).

 

Поскольку k=f'(x₀), то уравнение касательной имеет вид

y=f(x₀)+f'(x₀)(x – x₀).

 

Как вычисляют производную?

1. Записывают функцию в виде y=f(х).

2. Вычисляют Dy – приращение функции: D у=f(x+ D x) – f(x).

3. Составляют отношение

4. Представляют, что Dx стремится к нулю, и переходят к пределу = y'(х₀).

5. Вычисляют производную в точке х₀: y'(х) = y'(х₀).

Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Примеры дифференцирования:

 

1.

D y=a(x+ D x)² – ax²=2ax D x+a D x²;

 

= 2ax +D x; = 2ax, Þ (ах²)'=2ax.

 

2.

;

 

= ;

= 3x², Þ (x³)'=3x².

 

3.

;

 

= – , Þ

 

Дифференциал функции

Дифференциалом функции f(х) в точке х₀ называется линейная функция приращения вида

Дифференциал функции y=f(х) обозначается dy или df(x₀). Главное назначение дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение  на линейную функцию от , совершив при этом, по возможности, меньшую ошибку.

Наличие конечной производной  даёт возможность представить приращение функции  в виде

 

 

где  при . Из этого следует, что ошибка в приближённом равенстве  (равная ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем , когда . Это часто используют при приближённых вычислениях.