Вопросы к билетам по геометрии 8 класс

Вопросы без доказательства

1. Параллелограмм: определение, виды.

2. Трапеция: определение, элементы, виды.

3. Сумма и вычитание векторов.

4. Ромб: определение и свойства.

5. Прямоугольник, квадрат. Определение, свойства, площадь.

6. Умножение вектора на число. Свойства умножения вектора на число.

7. Вписанная и описанная окружности. Формула Эйлера.

8. Обобщенная теорема Фалеса (без доказательства).

9. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

10. Взаимное расположение прямой и окружности.

11. Центральные и вписанные углы, углы между хордами и секущими.

12.Окружность. Свойство отрезков пересекающихся хорд.

13.Замечательные точки треугольника.

14.Теорема Пифагора (прямая и обратная) без доказательства.

15. Отношение площадей треугольников, имеющих одинаковые высоты

16.Признаки подобия треугольников (без доказательства)

17. Свойство треугольников на которые медиана делит исходный треугольник.

18.Взаимное расположение двух окружностей.

19.Теорема о квадрате касательной (без доказательства).

20. Формулы площадей треугольника.

21.Описанные и вписанные окружности для четырехугольников.

22. Свойство биссектрисы треугольника (без доказательства).

23. Определение подобных треугольников, сходственных сторон, коэффициента подобия, отношение периметров подобных треугольников (без доказательства).

Вопросы с доказательством

1. Первый признак подобия треугольников.

2. Теорема Фалеса

3. Теорема Пифагора (прямая и обратная).

4. Теорема о точке пересечения медиан треугольника.

5. Теорема о вписанном угле

6. Теорема Чевы (прямая и обратная) (доказательство прямой).

7. Теорема о точке пересечения высот треугольника.

8. Вывод формула Герона.

9. Второй признак подобия треугольников.

10. Признаки параллелограмма (доказательство одного из них).

11. Свойства параллелограмма (доказательство одного из них).

12.Площадь треугольника, площадь параллелограмма.

13.Третий признак подобия треугольников.

14.Теорема Менелая (прямая и обратная). Доказать прямую теорему.

15. Теорема Вариньона.

16.Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

17. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

18.Площадь трапеции.

19.Свойство средней линии трапеции.

20. Теорема о касательной к окружности (прямая и обратная).

21.Теорема о точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

22. Подобные треугольники. Теорема об отношении площадей подобных треугольников.

23. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника.

Задачи базового уровня

1. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб с диагоналями 6 см и 8 см.

2. Найдите отношение площади круга, описанного около правильного треугольника к площади круга, вписанного в этот треугольник.

3. Хорда делит окружность в отношении 5:7. Найдите величину меньшего вписанного в окружность угла, опирающегося на эту хорду.

4. Найти медиану прямоугольного треугольника с катетами 30 и 40, проведенную к гипотенузе.

5. Боковые стороны и меньшее основание прямоугольной трапеции соответственно равны 8, 10, 10. Чему равна площадь трапеции?

6. Как относятся площади частей треугольника, на который делит треугольник его средняя линия?

7. Сторона ромба равна 5, меньшая диагональ равна 6. Найти большую диагональ.

8. Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его диагональ увеличить в 1,5 раза?

9. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а основание относится к боковой стороне как 6:5. Найти площадь треугольника.

10. В прямоугольном треугольнике сумма площадей квадратов, построенных на сторонах, составляет 54. Найти гипотенузу.

11. В прямоугольнике с периметром одна сторона больше другой на 2√3. Найти площадь прямоугольника.

12.Площадь трапеции равна 60 см², высота ее 3 см, а основания относятся как 1:4. Найти меньшее основание трапеции.

13.Найти площадь треугольника со сторонами 7, 8, 10.

14.Большее основание трапеции равно 10 см, отрезок, соединяющий середины диагоналей равен 4 см. Чему равно меньшее основание трапеции?

15. Найдите диагональ трапеции, у которой боковые стороны и меньшее основание равны 6 см, а большее основание – 12 см.

16.Найдите синус, косинус и тангенс острых углов прямоугольного треугольника с гипотенузой 13 см и катетом 12 см.

17. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см, угол между ними 60^о. Найдите площадь параллелограмма.

18.В равнобедренном , АС – основание, , СD – высота. Найдите АD, если высота, опущенная к основанию равна 10 см.

19.Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и МВ (А и В – точки касания). Найдите периметр , если .

20. Хорды АВ и CD пересекаются в точке М. Найдите длину хорды АВ, если СМ =4 см, DM =9 см, АМ: МВ =4:1

21.В биссектрисы АА ₁ и ВВ ₁ пересекаются в точке О, удаленной от стороны АВ на 4 см. Найдите площадь , если ВС =10 см.

22. В прямоугольной трапеции основания равны 22 и 6, а большая боковая сторона 20. Найдите площадь трапеции.

23. Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 8 см и 12 см, а боковая сторона 10 см.

Задачи углубленного уровня

1. В прямоугольный треугольник с углом 60^о вписана окружность, радиус которой равен см. Найдите площадь этого треугольника.

2. На окружности с центром в точке О выбраны точки М и N. Вторая окружность, вдвое меньшего радиуса, касается первой в точке М и делит пополам отрезок ON. Найдите .

3. Основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

4. В точки делят стороны ВС, АС и АВ соответственно в отношениях ВА₁:А₁С=3:7, АВ₁:В₁С=1:3, АС₁:С₁В=1. Найдите отношения площадей и .

5. В , АВ =72. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольника и , где АА ₁ – высота треугольника .

6. Длины диагоналей ромба относятся как 3:4. Во сколько раз площадь ромба больше площади вписанного в него круга?

7. Точка А лежит внутри круга с центром О и радиусом R так, что ОА=а (а<R). Докажите, что для любой хорды MN, проходящей через точку А, выполняется соотношение .

8. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки длиной 2 см и 5 см. В каких пределах может изменяться периметр треугольника?

9. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится на отрезки 5 см и 12 см точкой касания вписанной в треугольник окружности. На какие отрезки делит катет треугольника биссектриса меньшего угла?

10. Расстояние от центра вписанной в прямоугольную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 см и 8 см. Найти площадь трапеции.

11. На сторонах ВС ₁, АС и АВ выбраны точки А ₁, В ₁ и С ₁ соответственно, причем отрезки АА ₁, ВВ ₁, СС ₁ пересекаются в точке О. Докажите, что .

12.Точка А ₁ лежит на стороне ВС так, что А ₁ В: А ₁ С =1:3. Вершина А – середина отрезка МС. В каком отношении (считая от В), прямая А ₁ М делит сторону АВ?

13.В прямоугольнике АВСD , AE:EC=1:3. Найдите углы, которые составляет со сторонами прямоугольника его диагональ.

14.Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ и углом 120^о при вершине описана окружность. Докажите, что отрезок, соединяющий центр описанной окружности с точкой пересечения продолжения высот треугольника, равен диаметру описанной окружности.

15. Найдите острые углы , если , , , где СК – высота треугольника.

16.Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции (их длины и ) и проходящего через точку пересечения диагоналей.

17. В прямоугольном треугольнике АВС, , CD – высота, а один из катетов вдвое больше другого. В и проведены биссектрисы DK и DP соответственно. Найдите площадь , если КР =4 см.

18.Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1:2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

19.Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла треугольника делит гипотенузу на отрезки длины 15 см и 20 см.

20. В углы А и В равны 38^о и 86^о соответственно. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания сторон с вписанной в окружностью.

21.Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 см и 12 см. Найдите площадь трапеции

22. Высота опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых равны 6 см и 54 см . Найдите гипотенузу треугольника.