Примеры из лекций в билеты

Семестр, матем.

Список вопросов на доказательства

(с конца 1 семестра, после рац. дробей).

Лекция 22.

73. Доказать, что при замене  синус и косинус преобразуются по следующим формулам: , . 

74. Доказать, что если функция нечётна относительно косинуса, замена  сводит интеграл к рациональной дроби.  

Лекция 23.

76. Доказать, что замена  сводит интеграл  к рациональной дроби.

Лекция 24.

78. Докажите формулу Ньютона-Лейбница.

Лекция 25.

79. Вывести формулу длины явно заданной кривой.  

80. Вывести формулу длины кривой в полярных координатах.

Весна:

Лекция 1.

1. Доказать, что  сходится ,  сходится .

Лекция 2.

2.Вывести формулу площади поверхности .

Лекция 3.

3.Вывести формулы перехода к цилиндрическим и сферическим координатам.

4. Вывести формулу якобиана сферических координат .

 

Лекция 4.

5. Доказать теорему о том, что криволинейный интеграл не зависит от пути  циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

6. Доказать формулу Грина: .

Лекция 5.

7. Доказать теорему: Поле  потенциально  криволинейный интеграл  не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точек .

8. Доказать теорему: Векторное поле  потенциально   симметрична производная матрица.

 

Лекция 6.

9. Доказать формулы умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме.

10.  Доказать формулу Эйлера .

Лекция 7.

11. Доказать формулу Муавра:

12. Доказать формулу:

13. Доказать формулы: , .

14. Доказать формулу .

Лекция 8.

15. Доказать, что линейное отображение  в комплексной плоскости есть композиция растяжения, поворота и сдвига.

16. Доказать, что функция  дифференцируема  и  дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана.  и

17. Доказать, что  дифференцируемая функция  векторные поля  и  являются потенциальными.

18. Доказать, что функция является аналитической в некоторой области D, то для каждой из  выполняется уравнение Лапласа:

 и .

 

Лекция 9.

19. Доказать: условия Коши-Римана эквивалентны условию .

 

Примеры из лекций в билеты.  

(с конца 1 семестра, после рац. дробей).

Пр 65. Вычислить интеграл . Ответ. .

Пр 66. Вычислить интеграл . Ответ. .

Пр 74. Найти S фигуры, огр. линиями Ответ. .

Пр 75. Найти S фигуры, огр. лин.   Отв.  .

Пр 77. Найти длину кривой  при .   Ответ. .

Весна:

Лекция 1.

Пр 1. Выяснить сходимость интеграла . Ответ. Сходится.

Пр 2. Выяснить сходимость интеграла  . Ответ. Сходится.

Лекция 2.

Пр 3. Вычислить , D  - треугольник с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).   Ответ. .

Пр 4. Вычислить  где D куб . Ответ.  .

Пр 5. Вычислить интеграл  где D трёхмерное тело над квадратом , ограниченное сверху плоскостью .

Ответ. .

Лекция 3.

Пр 6. Вычислить интеграл  где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.   Ответ. .

Пр 7. Вывести формулу площади сферы .

Пр 8. С помощью сферических координат вывести формулу объёма шара .

Пр 9. Точка движется по полуокружности радиуса 1 в верхней полуплоскости, и на неё действует сила . Найти работу силы. Ответ.   .

Лекция 4.

Пр 10. Вычислить работу поля   по единичной окружности без формулы Грина и по формуле Грина.   Ответ. .

 

Лекция 5.

Пр 11. Доказать, что поле  потенциально и найти потенциал.    Ответ.

Пр 12. Доказать, что поле  потенциально и найти потенциал. Ответ.    = .

 

Лекция 7.

Пр 13. Найти  . Ответ. 16.

Пр 14. Найти . Ответ.   ,  ,

Пр 15. Вычислить .     Ответ. .

Пр 16. Вычислить .    Ответ. .

 

Пр 17. Вычислить .    Ответ.  

Пр 18. Вычислить . Ответ.   

 

Пр 19.  Разложить  на сумму действительной и мнимой частей. Ответ. , .

Пр 20.  Разложить  на сумму действительной и мнимой частей. Ответ. .

 

Лекция 8.

Пр 21.  Разложить  на действительную и мнимую часть.

Ответ. , . 

Пр 22. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции .

Лекция 9.

Пр 23. Дано . Найти мнимую часть и восстановить вид функции . Ответ. , .

Пр 24. Вычислить интеграл : 

А) по прямолинейному отрезку от 0 до .

Б) по параболе от 0 до .

Ответ. по отрезку: 1, по параболе: .

Лекция 10.

Пр 25. Вычислить , где  - окружность радиуса  вокруг точки . Ответ. .

Прочие краткие вопросы (в качестве доп. вопросов или на 3-ку):

1. Вывести формулы перехода к полярным координатам.

2. Вычислить якобиан полярных координат.

3. Доказать: , .

4. Доказать формулы умножения и деления комплексных чисел в показательной форме.