Пример выполнения задания

1 2

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные теоретические положения 3

2. Содержание задания 3

3. Пример выполнения задания 4

4. Требования к отчету по работе 8

Контрольные вопросы 8

Библиографический список 8

Цель работы: приобрести практические навыки автоматизации статистической обработки данных мониторинга окружающей среды средствами математического пакета Maple 7.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Многие природные процессы носят периодический характер, содержат суточные или годичные циклы. При обработке данных часто удобно бывает выделить тренд, а остатки dy=y-(ax+b) представить разложением в ряд. В этом случае для описания зависимости dу=f(х) может быть использовано разложение в ряд Фурье:

. (1)

В уравнение (1) входит 2р коэффициентов: р – а_k -х и р – b_k -х. Следовательно, для определения коэффициентов ряда потребуется 2р уравнений. По экспериментальным данным можно составить столько уравнений, сколько пар (х_i,у_i) получено в результате измерений. Если объем выборки наблюдений равен n, то 2р=n и количество коэффициентов а_k, определяемых по опытным данным – n/2; b_k – n/2.

Коэффициенты a_k и b_k определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений

по формулам:

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Для набора данных по указанию преподавателя, средствами математического пакета Maple 7, используя пример, приведенный ниже, и электронный помощник, составить программу и выполнить расчет коэффициентов ряда Фурье для описания остатков после выделения тренда. Построить график остатков и их описания разложением в ряд.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

> # Расчет коэффициентов ряда Фурье.

> restart;

> with(stats);

> # Ввод объема выборки

> n:=24;

> # Ввод исходных статистических данных по варианту

> X:=[0.2618,0.5236,0.7854,1.0472, 1.3090,1.5708,1.8326,2.0944,2.3562,2.6180,2.8798,3.1416,3.4034,3.6652,3.9270,4.1888,4.4506,4.7124,4.9742,5.2360,5.4978,5.7596,6.0214,6.2832];

> Y:=[3.07,4.35,5.51,6.75,8.13,9.60,11.13,12.75,14.51,16.35,18.07,19.50,20.65,21.75,23.09,24.75,26.55,28.20,29.55,30.75,32.09,33.75,35.65,37.50];

> # Определение тренда

> fit[leastsquare[[x,y1]]]([X,Y]);

> # Расчет значений функции с учетом тренда

> for i to 24 do Y1[i]:=1.028695652+5.720795828*X[i] od;

> # Расчет остатков

> for i to 24 do dY[i]:=Y[i]-Y1[i] od;

> # Расчет коэффициентов ряда Фурье для описания остатков

> for j to 12 do k:=j; aa:=0; for i to 24 do As:=dY[i]*sin(k*X[i]); aa:=aa+As od: a[j]:=2*aa/(n+1) od: print(a1=a[1], a2=a[2],a3=a[3],a4=a[4],a5=a[5],a6=a[6],a7=a[7],a8=a[8],a9=a[9],a10=a[10],a11=a[11],a12=a[12]);

> for j to 12 do k:=j; bb:=0; for i to 24 do Bs:=dY[i]*cos(k*X[i]); bb:=bb+Bs od: b[j]:=2*bb/(n+1) od: print(b1=b[1], b2=b[2],b3=a[3],b4=a[4],b5=b[5],b6=b[6],b7=b[7],b8=b[8],b9=b[9],b10=b[10],b11=b[11],b12=b[12]);

> # Расчет остатков с учетом разложения в ряд Фурье

> for i to 24 do dYf[i]:=sum('a[k]*sin(k*X[i])','k'=1..12)+sum('b[k]*cos(k*X[i])','k'=1..12) od;

> # Определение остаточной дисперсии

> Dost:=sum('(dY[i]-dYf[i])^2/n','i'=1..n);

> # Построение графиков

> plot([[[X[1],dY[1]],[X[2],dY[2]],[X[3],dY[3]],[X[4],dY[4]],[X[5],dY[5]],[X[6],dY[6

]],[X[7],dY[7]],[X[8],dY[8]],[X[9],dY[9]],[X[10],dY[10]],[X[11],dY[11]],[X[12],dY[12]],[X[13],dY[13]],[X[14],dY[14]],[X[15],dY[15]],[X[16],dY[16]],[X[17],dY[17]],[X[18],dY[18]],[X[19],dY[19]],[X[20],dY[20]],[X[21],dY[21]],[X[22],dY[22]],[X[23],dY[23]],[X[24],dY[24]]],[[X[1],dYf[1]],[X[2],dYf[2]],[X[3],dYf[3]],[X[4],dYf[4]],[X[5],dYf[5]],[X[6],dYf[6]],[X[7],dYf[7]],[X[8],dYf[8]],[X[9],dYf[9]],[X[10],dYf[10]],[X[11],dYf[11]],[X[12],dYf[12]],[X[13],dYf[13]],[X[14],dYf[14]],[X[15],dYf[15]],[X[16],dYf[16]],[X[17],dYf[17]],[X[18],dYf[18]],[X[19],dYf[19]],[X[20],dYf[20]],[X[21],dYf[21]],[X[22],dYf[22]],[X[23],dYf[23]],[X[24],dYf[24]]]], x=0..7.0, color=[red,blue], style=[point,line]);