Геометрическое исследование поведения функции

Лекция 5.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует конечная производная, то она равна нулю.

Теорема Ролля. Пусть на определена функция , причем:

непрерывна на

дифференцируема на

Тогда существует точка такая что , и .

Теорема Лагранжа. Пусть на определена функция , причем:

непрерывна на

дифференцируема на

Тогда существует точка такая что , и .

Формула Лагранжа. Равенство

называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Теорема Коши. Пусть:

непрерывна на

дифференцируема на

на

Тогда существует точка такая, что и справедлива формула:

Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

Определение. Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если . Раскрыть эту неопределенность – означает вычислить предел , если он существует, или установить, что он не существует.

Теорема Лопиталя. Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть также и в указанной окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения , то существует и предел , причем справедливо соотношение

Rem.1. Теорема остается справедливой в случае когда и .

Rem.2. Если производные и также удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то теорему можно применять повторно:

Rem.3. Теорема остается верной и в случае, когда .

Определение. Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если

или .

Для раскрытия этой неопределенности справедливо утверждение, аналогичное теореме Лопиталя, а именно: если в формулировке теоремы изменить условие на , то теорема останется справедливой.

Неопределенности вида и можно свести к неопределенности или к .

Формула Тейлора.

Теорема Тейлора. Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка . Пусть любое значение аргумента из указанной окрестности. Тогда между точками и найдется точка такая, что справедлива формула Тейлора:

Формула Лагранжа.

Формула Маклорена. Формулу Тейлора при называют формулой Маклорена:

Остаточный член имеет вид

1. в форме Лагранжа: ;

2. в форме Пеано: .

Геометрическое исследование поведения функции.

· Признак монотонности функции.

Если функция дифференцируема на интервале и , то функция не убывает на .

Если функция дифференцируема на интервале и , то функция не возрастает на .

Если функция дифференцируема на интервале и , то функция возрастает на .

Если функция дифференцируема на интервале и , то функция убывает на .

· Отыскание точек локального экстремума.

Определение. Точка называется точкой строгого локального максимума функции если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство при .

Определение. Точка называется точкой строгого локального минимума функции если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство при .

Необходимое условие локального экстремума. Если функция имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то .

Геометрический смысл. Если точки - точки локального экстремума и в этих точках существуют касательные к графику функции, то эти касательные параллельны оси .

Точку , для которой выполнено соотношение , называют точкой возможного экстремума.

Достаточное условие локального экстремума. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в проколотой окрестности точки . Тогда:

o если для всех из левой окрестности точки , а для всех из правой окрестности , то в точке функция имеет локальный максимум;

o если для всех из левой окрестности точки , а для всех из правой окрестности , то в точке функция имеет локальный минимум;

o если же в окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.

· Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.

Определение. График функции имеет на выпуклость направленную вниз, если он расположен не ниже любой касательной к графику функции на .

Определение. График функции имеет на выпуклость направленную вверх, если он расположен не выше любой касательной к графику функции на .

Достаточное условие выпуклости. Пустьфункция имеет на интервале конечную . Тогда:

o если во всех точках , то график функции на имеет выпуклость, направленную вниз;

o если во всех точках , то график функции на имеет выпуклость, направленную вверх.

Определение. Точка называется точкой перегиба графика функции , если существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

Необходимое условие точки перегиба. Пусть график функции имеет перегиб в точке и пусть функция имеет в точке непрерывную вторую производную, тогда .

Определени е. Точка графика функции , для которой называется критической.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция непрерывна, имеет конечную в некоторой проколотой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график функции имеет перегиб в точке .

· Асимптоты графика функции. Прямая линия называется асимптотой для кривой , если расстояние от точки , лежащей на кривой, до прямой стремится к нулю при удалении точки от начала координат в бесконечность.

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или .

Определение. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , при если хотя бы один из пределов или равен .

Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , при если существуют числа и такие, что , .

· Схема исследования графика функции.

1. Определить область существования функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Найти асимптоты.

4. Найти точки возможного экстремума.

5. Найти критические точки.

6. Провести исследование знака первой и второй производных. Определить участки возрастания, убывания и направления выпуклости, найти точки экстремумов и точки перегиба.

7. Построить график.

· Касательная к графику функции в точке