Вопрос 3. Основные свойства функций

Вопрос 2. Понятие графика функции

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, то есть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y.

(учебник Алгебра и начала анализа Колмагоров стр 27 упр 42)

.

ü  - линейная функция, графиком её является прямая (рис.1)

ü  – обратная пропорциональность, графиком её является гипербола (рис.2)

ü  – квадратная функция, графиком её является парабола (рис.3)

ü  – кубическая функция, графиком её является кубическая парабола (рис.4)

ü  – функция квадратного корня, графиком её является ветвь параболы (рис.5)

Рис 1.                                     Рис 2.

                  Рис. 3

                                                                             Рис. 4

Рис.5

Вопрос 3. Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

Пример: 

1) Обл. определения

2) Обл. значений

Укажите область определения функции:

а) б) в) г) д)   

Укажите область значения функции:

а) б) в) г) д)  

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю (берем точки, где график пересекает ось х).

Для того, чтобы найти нули функции, заданной аналитически, необходимо решить уравнение: . Корни этого уравнения являются нулями функции.

Пример: б) в)   

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Для того, чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, заданной аналитически, необходимо решить неравенства:  и . Решения этих неравенств и будут промежутками знакопостоянства функции.

 

Пример:

в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.

Пример: Найти промежутки знакопостоянства функции

 или

Ответ:  при ;  при

4) Монотонность функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

ü Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.  

 

ü Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

,

5) Четность (нечетность) функции.

ü Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат (ось ОY).

 

ü Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

 

 

 

На рисунке слева график чётной функции, на рисунке справа – нечётной функции

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодичность функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.