Случай функции с особой точкой
– первообразная для
Таким образом, сходится конечный предел первообразной .
Примеры.
Рассмотрим интегралы
Рассмотрим случай интеграла с особой точкой в левом конце отрезка:
Случай
Аналогично рассматривается интеграл с особой точкой в правом конце отрезка. Таким образом
имеет при порядок роста относительно ).
Исследование несобственных интегралов 2-го рода на сходимость.
Признаки сходимости:
1. Признак сравнения:
пусть
a. Если сходится, то также сходится.
b. Если расходится, то также расходится.
2. Предельный признак сравнения.
Пусть для и при , т.е. .
Тогда и оба сходятся или оба расходятся.
3. Если сходится , то сходится и .
Примеры.
1.
При ,
2.
При
Замечание: если непрерывна на кроме точки и не ограничена в окрестности точки , тогда
(для первого и второго интегралов в правой части особой точкой является правый или левый конец отрезка).
сходится сходятся оба интеграла и
|
|
Пример.
Примеры несобственных интегралов с несколькими особыми точками
1.
Исходный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части:
a. .
b. .
.
(несобственный интеграл 2-го рода + несобственный интеграл 1-го рода ).
a. – сходится при
b. – сходится при
Значит, расходится для любого .
.
a.
При
b.
При .
Таким образом исходный интеграл расходится.
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Рассмотрим несобственный интеграл
Опр. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Опр. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, но интеграл расходится.
Пример.
( без доказательства, см. рис. 17).