Основные теоремы операционного исчисления

ЛЕКЦИЯ № 7

 

● Если  и  – оригиналы, то их сверткой называется функция

.

● Функции  и  называются компонентами свертки.

Пример 1. Найти свертку функций  и .

Решение. Так как , запишем

.◄

1.Теорема о свертке. Если , то .

Пример 1. Найти оригинал, отвечающий изображению

.

Решение. Представим данную функцию  в виде произведения двух изображений с известными оригиналами

.

Так как

, ,

то по теореме о свертке

.

Итак, .◄

С помощью теоремы о свертке можно находить решение некоторых интегральных уравнений.

Пример 2. Решить интегральные уравнения

1. , 2. .

Решение. 1. Интеграл в левой части уравнения представляет собой свертку функций  и . Запишем данное уравнение в виде

и применим теорему о свертке

.

Учитывая, что  и , получим

и .

Таким образом, решением данного уравнения является функция .

 

2. Положим  и перепишем уравнение в виде

.

Переходя к изображениям и используя теорему о свертке, получим

.

Тогда

.◄

2.Теорема о дифференцировании изображения. Если , то

;

.

Пример 3. Найти изображение функции .

Решение. Для нахождения изображения данной функции воспользуемся теоремой о дифференцировании изображения. Так как , то

◄

Пример 4. Найти изображение функции .

Решение. Имеем

.

Так как, то

.

Изображение функции  получим по теореме о дифференцировании изображения:

.

Окончательно .◄

3.Теорема об интегрировании изображения. Если , то .

Пример 5. Найти изображение функции .

Решение. Имеем

◄

Пример 6.  Найти изображение функции .

Решение. Так как, то . Тогда

.◄

4.Теорема об интегрировании оригинала. Если , то .

Пример 7. Найти оригинал, отвечающий изображению

.

Решение. Для получения оригинала  сначала поделим числитель дроби  почленно на знаменатель и получим сумму трех дробей:

.

Изображению  отвечает оригинал . Дробь  можно представить в виде

.

Применяя теорему об интегрировании оригинала, находим

.

Аналогично, получим

;

= .

Используя свойство линейности изображения, найдем

.◄

 

5.Теорема о дифференцировании оригинала. Если , ,  – оригиналы и , то

,

.

Пример 8. Найти оригинал для .

Решение. Имеем . По теореме о дифференцировании изображения, получим

.

Применяя теорему о дифференцировании оригинала, найдем

◄

Упражнения.

 Найти свертку следующих функций:

1. , . .2. .

3. , . 4. .

С помощью теоремы о свертке найти оригиналы для заданных изображений:

5. . 6 . 7. .

8. . 9. .

Решить интегральные уравнения:

10. . 11. .

12. .  13. .

14. .

Найти изображения следующих функций:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Найти оригинал по данному изображению:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. .