Решение задач по теме: «Параллельность в пространстве»

Задача 1. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости . Докажите, что прямая c, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости .

Дано: а , b , a||b, c a, c b. Доказать что с .
Решение (пояснение)	Решение (запись)
1) Так как прямая а лежит в плоскости альфа и прямая с пересекает прямую а, то точка их пересечения лежит в плоскости альфа. 2) Аналогично точка пересечения b и с лежит в плоскости альфа. 3) И по аксиоме А2 (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в это плоскости) следует что прямая с лежит в плоскости альфа.	Доказательство: 1) а , c a=P  P , 2) b , c b=M  M 3) P , M , P c M c, то с  (по аксиоме А2).

Задача 2. На рисунке точки M, N, Q и Р – середины ребер DP, DC, AC, AB. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD= 12 см, BC= 14 см.

Пояснения к задаче:

1) Рассмотрим треугольник ВСD. Отрезок MN является средней линией, значит, он параллелен ВС. Отрезок QР – средняя линия треугольника АВС и параллелен ВС. По теореме о параллельности трех прямых, MN параллельна QР.

2) МР – средняя линия треугольника DВА, МР параллельна DА. Отрезок NQ – средняя линия треугольника АСD, NQ параллелен DА. Значит, МР параллельно NQ.

3) В четырехугольнике MNQP противоположные стороны попарно параллельны, значит, MNQP – параллелограмм.

4) Периметр параллелограмма MNQP равен удвоенной сумме смежных сторон. Длины этих сторон найдем как длины средних линий, равных половине параллельных сторон треугольника. MN равен половине ВС, 14:2 =7 см, МР равен половине DА, то есть 6 см. В результате периметр равен 26 см. Задача решена.

Задача 3. Точка С лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки B и C параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B₁ и C₁. Найдите длину отрезка CC₁, если точка C – середина отрезка AB и BB₁ = 7 см.

Дано: C – середина AB CC1 || BB1 BB1 = 7 см Найти: CC1
Решение (пояснение)	Решение (запись)
1. Докажем, что все точки лежат в одной плоскости. Прямая CC1 параллельна BB1, следовательно, через них можно провести плоскость Точки C, C1, B, B1 будут принадлежать плоскости   Так как две точки C и B прямой AB принадлежат плоскости , то точка A этой прямой тоже будет принадлежать плоскости . Теперь все точки принадлежат одной плоскости. 2. Рассмотрим ABB1 C – середина AB, CC1 || BB1 CC1 средняя линия ABB1. Ответ: 3,5 см	1. Докажем, что все точки лежат в одной плоскости. CC1 || BB1  через них можно провести плоскость .   Точки C, C1, B, B1 будут лежат в плоскости       Теперь все точки принадлежат одной плоскости. 2. Рассмотрим ΔABB1 C – середина AB, CC1 || BB1 CC1 средняя линия ΔABB1. Ответ: 3,5 см

Задача для самостоятельного решения:

Задача 4. Средняя линия трапеции лежит в плоскости , Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость ? Ответ обоснуйте.