Задания для самостоятельного решения

Решение некоторых физических задач с помощью определённого интеграла

Пусть материальная точка перемещается вдоль оси ох под действием переменной силы , направленной параллельно оси. Тогда работа, произведённая силойFпри перемещении точки из положения в положение вычисляется по формуле:

.

Пример 5.1. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м

По закону Гука упругая сила F, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. , гдеk– коэффициент пропорциональности. По условию сила Н растягивает пружину на м, т.е. . Тогда .

Вычислим работу:

12,5 (Дж)

Определённый интеграл применяют для вычисления пути Sпрямолинейного движения.

Путь S, пройденный материальной точкой за промежуток времени от до , равен определённому интегралу от скорости :

Пример 5.2. Вычислить путь, пройденный точкой за 4 секунды от начала движения, если скорость точки (м/с).

По условию: .

Тогда (м/с).

Задания для самостоятельного решения

1. Найти работу производимую при сжатии пружины на 0,03 м, если для сжатия её на 0,005 м нужно приложить силу в 10 Н.

Ответ: 0,9 Дж.

2. Сила упругости пружины, растянутой на 0,05 м, равна 3 Н. Найти работу, которую надо произвести, чтобы растянуть эту пружину на 0,05 м

Ответ: 0,075 Дж.

3. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м

Ответ: 125 Дж.

4. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 15 см, если известно, что для сжатия пружины на 1 см необходима сила в 30 Н.

Ответ: 33,75 Дж.

5. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины а 0,08 м, если для сжатия её на 0,01 м нужна Сида в 25 Н.

Ответ: 8 Дж.

6. Тело движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти путь, пройденный за первые 3 с.

Ответ: 16,5 м.

7. Тело движется прямолинейно со скоростью (м/с). найти значение параметра , если известно, что за промежуток времени от до (с) тело прошло путь длиной 40 м.

Ответ: .

8. Тело движется прямолинейно со скоростью (м/с). Найти длину пути, пройденного телом от начала пути, до его остановки.

Указание: в моменты начала и остановки скорость тела равна нулю.

Ответ: 288 м.

9. Найти путь, пройденный точкой за третью секунду, зная скорость её прямолинейного движения (м/с).

Ответ: 11 м.

10. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. одно тело двигалось со скоростью (м/с), другое со скоростью (м/с). определить расстояние между телами через 2 секунды.

Ответ: 8м.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пехлецкий И. Д. математика: учебник – М.: изд. центр. «Академия», «Мастерство», 2002 г, [170-187].
2. Афанасьева О.Н. и др. сборник задач по математике для техникумов.- М., Наука, 1992 г.
3. Данко П. Е., Попов А. Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1. –М., Высшая школа, 1999г.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений. – 7 – изд., стер. – М.: Высшая шк.,2004г.
5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – 14 – изд. испр. – М.: Издательство физико – математической литературы, 2000г.
6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч-1. Учебное издание. – М.: Айрис-пресс, 2003г, [221-232], [239-240], [245-247].