Формула полной вероятности и формулы Байеса

Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности. Рассмотрение условных вероятностей при одном и том же данном событии Вравносильно выбору В в качестве нового пространства элементарных исходов с вероятностями, пропорциональными первоначальным. Коэффициент пропорциональности Р(В)^-1 необходим для того, чтобы сделать вероятность нового пространства равной единице. Из формул для условных вероятностей P(A|B) и P(B|A) можно получить следующую теорему:

Теорема (умножения вероятностей). Вероятностьпроизведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло: Р(А· В) = Р(В) · Р(А|В) = Р(А) · Р(В|А).

Теорема умножения применима также в том случае, когда одно из событий Аили В является невозможным. Пусть, например, Р(А) = 0, Р(B) ¹ 0. Тогда Р(А · В) = 0, Р(А|В) = 0, следовательно,Р(А · В) = Р(В) · Р(А|В).

События А и Вназывают независимыми, если Р(А · В) = Р(А) · Р(В). Если события А и В независимы, то условные вероятности совпадают с безусловными: Р(А|В) = Р(А), Р(В|А) = Р(В).

Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и ее приложениях. В практических вопросах для определения независимости данных событий редко обращаются к проверке выполнения равенства Р(А · В) = Р(А) · Р(В). Обычно пользуются интуитивными соображениями, основанными на опыте. Например, ясно, что выпадение герба на одной монете не изменяет вероятности появления герба на другой монете, если только эти монеты во время бросания не связаны между собой. Точно также рождение мальчика у одной матери не изменяет вероятности появления мальчика у другой матери. Это - независимые события.

События В₁, В₂, …, В_kназывают независимыми в совокупности, если для любых 1≤i<j<…<r≤k выполнено: Р(В_i · В_j · … · В_r) = Р(В_i) · Р(В_j) · … · Р(В_r).

Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их попарной независимости.

Приведем примеры использования теорем сложения и умножения вероятностей

Пример 2. Прибор состоит из 3-х узлов, каждый из которых может выйти из строя. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы) для каждого из узлов соответственно равна p₁ = 0,9; p₂ = 0,8; p₃ = 0,7. Найти надежность прибора в целом.

Решение. Рассмотрим события: А₁ - безотказная работа 1-го узла; А₂ -  безотказная работа 2-го узла; А_{3 -}  безотказная работа 3-го узла; А -  безотказная работа прибора. Ясно, что А = А₁· А₂ · А₃. По теореме умножения для независимых событий

Р(А) = Р(А₁ · А₂ · А₃) = Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃) = 0,9 · 0,8 · 0.7 = 0,504.

Пример 3. Студент пришел сдавать зачет, зная из 30 вопросов только одну треть. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на первый вопрос, преподаватель задает еще один?

Решение. Обозначим события: А - студент сдал зачет, В -  студент ответил на первый вопрос преподавателя, С -  студент ответил на второй вопрос преподавателя. Очевидно, что А = В + · С, т.е. студент сдаст зачет, если он либо ответит на первый вопрос, либо не ответит на первый, но ответит на второй.

Так как событияВи · Снесовместны, тоР(А) = Р(В + · С) = Р(В) + Р( · С)= Р(В) + Р() P(С| ), гдев последнем равенстве использована теорема умножения вероятностей. По условию задачи Р(В) = 10/30 = 1/3, а также Р() = 1 – Р(В) = 2/3и Р(С| ) = 10/29(так как осталось 29 вопросов, из которых студент знает 10). Следовательно,Р(А) =  +  = » 0,56.

Пример 4. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7, а вторым -0,6. Стрелки делают по одному выстрелу по цели одновременно. Определить вероятность того, что цель будет поражена, если они стреляют независимо друг от друга.

Решение. Обозначим события: А₁ - цель поражена первым стрелком, А₂ - цель поражена вторым стрелком, А - цель поражена. Ясно, что А = А₁ + А₂. По теореме сложенияР(А) = Р(А₁ + А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) –  Р(А₁ · А₂).Так как события А₁ и А₂ - независимы, то Р(А₁ · А₂) = Р(А₁)Р(А₂). По условию задачи Р(А₁) = 0,7, Р(А₂) = 0,6.Таким образом, Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁)Р(А₂) = 0,7 + 0,6 – 0,7 · 0,6 = 0,88.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛЫ БАЙЕСА

Следствием теорем сложения вероятностей и умножения вероятностей является формула полной вероятности.

Пусть требуется найти вероятность некоторого события А, которое может произойти одновременно с одним из событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу несовместных событий. Такие события обычно называют гипотезами.

Так как гипотезы образуют полную группу, то событие А может осуществиться только в комбинации с какими-либо из этих гипотез:

А = А · Н₁ + А · Н₂ + … + А · Н_n .

Однако гипотезы Н₁, Н₂, …, Н_n  несовместны, поэтому события А · Н₁, А · Н₂, …,А · Н_n также несовместны. Используя теорему сложения, получим:

Р(А) = Р(А · Н₁) + Р(А · Н₂) + … + Р(А · Н_n).

Наконец, применим к событиям А · Н₁, А · Н₂, …, А · H_n теорему умножения:

Р(А) = Р(Н₁)Р(А|Н₁) + P(Н₂)Р(А|Н₂) + … + P(H_n)Р(А|Н_n),

или     

Р(А) = Р(Н_i) Р(А|Н_i).

Полученное равенство называют формулой полной вероятности.

Пример 5. Группа студентов состоит из 3-х отличников, 9-ти хорошистов и 18 студентов, занимающихся слабо. Отличники на экзамене могут получить «5» с вероятностью 0,9 и «4» с вероятностью 0,1; хорошо успевающий студент может получить «5» с вероятностью 0,3, «4» с вероятностью 0,5 и «3» с вероятностью 0,2; слабо успевающий студент может получить «4» с вероятностью 0,2, «3» с вероятностью 0,4 и «2» с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент получит «5» или «4».

Решение. Событие А - случайно выбранный студент получит на экзамене «5» или «4». Гипотезы: Н ₁ - студент успевает отлично, Н ₂ - студент успевает хорошо, Н ₃  студент успевает слабо.

Вероятности гипотез: Р(Н₁ ) = 3:30 = 0,1; Р(Н₂) = 9:30 = 0,3; Р(Н₃) = 18:30=0,6.

Условные вероятности: Р(А|H₁) = 1, P(A|H₂) = 0,8, P(A|H₃) = 0,2.