Путь, пройденный точкой

ИНСТРУКЦИОННАЯ КАРТА К ПРОВЕДЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ № 15

ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОДП.02 МАТЕМАТИКА

Курс І                                                           группа _________________

ТЕМА: Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла (вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, пути по заданной скорости; скорости по ускорению).

ПОМНИ: обратить внимание наосновные требования правил техники безопасности.

Цели занятия:

Учебная: формировать умения и навыки решения некоторых физических и технических задач с использованием определенного интеграла.

Воспитательная: развивать интерес студентов к решению задач, к творчеству на программном материале; следует систематически ставить перед студентами задачи, которые кроме обучающих функций несли бы функции развивающие, формирующие элементы творческого математического мышления.

Междисциплинарная интеграция: высшая математика, физика; общая электротехника; техническая механика, материаловедение.

Методическое обеспечение: опорные конспекты по указанной теме; таблица вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения; задания для индивидуальной отработки.

Теоретическое обоснование работы:

Определение

Криволинейной трапецией називается фигура,ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции f (x) на отрезке [ а;в ], осью ОХ, прямыми х=а; х=в.

 

Геометрический смысл определенного интеграла dx - площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции f (x) на отрезке [ а;в ].

Алгоритм решения задач на вычисление площадей плоских фигур:

1. Выполнить приблизительный график заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры.

2. Найти пределы интегрирования, решив совместно систему уравнений.

3. Решить, какой формулой площади плоской фигуры удобнопользоваться в данном случае.

4. Вычислить площадь заданной фигуры.

 

Объем тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции аАВв, ограниченной непрерывной кривой у = f (x), отрезком а;в  оси ох и отрезками прямых х =а; х = в вычисляется по формуле

V =  (x) dx

Объем тела, образованного вращением вокруг оси оу криволинейной трапеции аАВв, ограниченной непрерывной кривой х= f (у), отрезком а;в  оси оу и отрезками прямых у =а; у = в вычисляется по формуле

V =  (у) dу

 

Путь, пройденный точкой

Если точка движется прямолинейно и ее скорость    v =  есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [ t_1; t₂ ] вычисляется по формуле 

S = (t) dt

 

Содержание и ход работы:

1. Решить задачи прикладного характера с использованием определенного интеграла, согласно заданного варианта.

2. Ответить на вопросы для самопроверки.

3. Оформить отчет по выполненной практической работе.

Вариант № 1

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х² +2, прямыми

 х = -2; х = 2 и осью абсцисс.

 

2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: у = 4/х; х=1; х=4; у=0.

 

 3. Тело движется по прямой со скоростью v = (5t –t²) м / с. Вычислите путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

 

Вариант № 2

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у = 2х – х² +8 и осью ОХ.

2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной данными линиями: у = 2 х; х=0; х=9; у=0.

 

3.Тело движется по прямой со скоростью v = (5 + t³) м / с. Вычислить путь, пройденный телом за третью секунду.  

Вариант № 3

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у = х² -3х 4 и осью ОХ.

2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: х – 2у = 0; х = 0; х = 10; у = 0.

 

3.Тело движется прямолинейно со скоростью v = (4t² –t) (м / с). Вычислите путь, пройденный телом за первые 3 секунды.

Вариант № 4

 

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у = 5х –х² - 6 и осью ОХ.

2. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной линиями: у = х³; у =8; х = 0; у = 0.

 

3. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении со скоростями v₁(t) = (6t² + 4 t²) м /с и v₂(t) = 4 t м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?

 

Вариант № 5

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х- 3х² и осью ОХ.

2. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной линиями у² = 4 - х, х = 0

 

3.Скорость движения точки v (t) = (6t² + 4) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за 5 секунд после начала движения.

 

Вариант № 6

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² и у = х + 2.

 

2.Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной линиями: у = х² + 1; у = 5; у = 2.

3. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направ-лении по прямой. Первая точка движется со скоростью v₁(t) = (6t² + 2t) м/с, вторая – v₂(t) = (4t + 5) м/с. На каком расстоянии они окажутся друг от друга через 5 сек?

 

Вопросы для самопроверки

1. Ответить на вопросы устного характера:

а) Какой физический и геометрический смысл заданного определенного интеграла dt?

б) Тело двигалось прямолинейно со скоростью v = v(t). Известно, что   dt = 0. Какой физический смысл этого равенства?

в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями: 

а) y= x²; x = 0; х = 1; б) у= ; х = 0; х = π?

2. Построить фигуру, площадь которой задана следующими интегралами:

а)  dx;

б)  dx;

в)  dx;

г)  dx.

3. Найти все такие значения  а, при которых  dx ˂ 8