2020-04-12
76Практическая работа № 23
Тема. Пирамида. Усеченная пирамида.
Цель работы: научиться решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин
В результате выполнения работы студенты осваивают следующие результаты обучения в соответствии с ФГОС:
Умения
- решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов)
Знания
- вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач
Порядок выполнения работы:
1.Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.п.
2.Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.
3.Сделайте выводы по результатам работы
Теоретическая часть
Пирамида
1.1. Пирамида. Элементы пирамиды
Рассмотрим многоугольник A1A2…An и точку S, не лежащую в плоскости многоугольника.
|
|
|
Соединим точку S со всеми вершинами многоугольника.
Полученное таким образом тело, называется пирамидой.
Определение. Многогранник, составленный из многоугольника (n-угольника) и n треугольников, называется пирамидой.
На рисунке изображена пятиугольная пирамида, т.к. в основании лежит пятиугольник.
Обозначение: название пирамиды начинается с вершины (точки S): SA1A2A3…An
Элементы:
Многоугольник A1A2…An – основание;
Точка S – вершина;
Треугольники A1SA2, A2SA3…- боковые грани;
Отрезки SA1, SA2…SAn - боковые ребра;
Отрезок SO = h – высота пирамиды. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.
Построение углов в пирамиде:
1) Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (это угол между прямой и плоскостью. Построение см. Тема 7.1 Лекция 3). На рисунке – это углы SA2O, SA3O.
2) Угол наклона боковых граней к плоскости основания (это угол между двумя гранями, т.е. двугранный угол). На рисунке этих углов нет.
Утверждения:
1) Если в пирамиде равны углы наклона боковых ребер к плоскости основания, то вершина проецируется в центр описанной окружности основания. (Точка О равноудалена от вершин)
2) Если в пирамиде равны углы наклона боковых граней к плоскости основания, то вершина проецируется в центр вписанной окружности. (Точка О равноудалена от сторон основания)
Пирамида, в основании которой лежит треугольник, (т.е. пирамида с четырьмя гранями) называется тетраэдр.
1.2. Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если:
1) в основании лежит правильный многоугольник;
2) отрезок, соединяющий центр основания с вершиной, является высотой. Т.е. вершина проецируется в центр основания. Центр основания – это центр вписанной или описанной окружности (для правильного многоугольника совпадают).
|
|
|
На рисунке изображена правильная треугольная пирамида. В основании правильный Δ (в изображении на рисунке – произвольный). Точка О – центр вписанной или описанной окружности. Ее нельзя просто поставить, а нужно строить!! (Построение см. Справочный материал). Из точки О восстановлен перпендикуляр. На нем стоит вершина S.
Помня, что Δ в основании правильный (т.е. О – точка пересечения медиан, высот, биссектрис, серединных перпендикуляров), достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники SOA, SOB, SOC, чтобы доказать свойства правильной пирамиды.
Свойства правильной пирамиды:
1) Боковые ребра равны.
2) Боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
3) Углы наклона боковых ребер к плоскости основания равны (на рисунке это углы SAO, SCO).
4) Углы наклона боковых граней к плоскости основания равны (на рисунке это углы SMO, SKO).
Для правильной пирамиды вводится новый элемент: апофема. Апофема – это высота боковой грани (обозначается H). На рисунке H = SM = SK. (Очевидно, что апофема пройдет через середину стороны основания).
Самостоятельно: изобразить правильную четырехугольную пирамиду, определить ее элементы, построить угол наклона бокового ребра к плоскости основания и угол наклона боковой грани к плоскости основания.
1.3. Площадь поверхности пирамиды
· Полная поверхность пирамиды: 
· Боковая поверхность 
(т.е. сумма площадей боковых граней)
Для правильной пирамиды.
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. 
1.4. Усеченная пирамида
Если в произвольную пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то она разобьет пирамиду на два многогранника – маленькую пирамиду и усеченную пирамиду.
На рисунке: ABCDA1B1C1D1 – усеченная пирамида.
Высота – отрезок OO1.
Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
Для усеченной правильной пирамиды – равные равнобедренные трапеции.
Апофема – высота этих трапеций.
Площадь поверхности усеченной пирамиды:
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полу суммы периметров оснований на апофему.
Решение задач
Задача 1. В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что SM = 5, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите AB.
Решение. Изобразим правильную треугольную пирамиду: SABC, AB=BC=AC, SM=5 – апофема, Sб.п.=45.
Тогда: 
Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SD = 13, BD = 10. Найдите SO.
Решение. В пирамиде основание ABCD, значит, диагонали AC=BD=10, O – точка пересечения диагоналей. Тогда SO – высота пирамиды. Рассмотрим ΔSOC:
Ответ: 12
№ 3. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12см, 10см и 10см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 450. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Дано:
SABC – пирамида
Основание: ΔABC, AB = AC = 10см, BC = 12см
Углы наклона боковых граней к основанию равны
Найти: S б.п.
Решение:
1) Углы наклона боковых граней к основанию равны – значит, точка О – центр вписанной окружности. Поэтому построение надо начинать с точки О. Отрезки OK = OM = ON = r – радиус вписанной окружности.
2) S б.п. = SASB + SASC + SBSC
3) Из того, что ΔSOK = ΔSON (по двум катетам: SO – общая, OK = ON) следует SK = SN.
Тогда 
4) Из ΔSKO:
OK из ΔABC, OK = r 
; 
По формуле Герона: 
Тогда: 
Считаем SASB = SASC = 
5) Из ΔSOM: SO = OM = r = 3, SM = 3√2 
|
|
|
6) S б.п. = SASB + SASC + SBSC = 
Ответ: 
см2
Требования к содержанию отчета по работе
Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.
Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):
· Понятие многогранника
· Определение пирамиды
· Правильная пирамида
· Виды пирамид
· Формула площади поверхности пирамиды
· Сечение пирамиды плоскостью
Приложение
Вариант.
1) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота h. Найти плоский угол при вершине пирамиды, угол между боковой гранью и плоскостью основания.
2) Высота правильной треугольной пирамиды равна 12см, сторона основания 15см. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
3) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 16, боковые ребра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Вариант.
1) В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, плоский угол при вершине равен α. Найти боковое ребро пирамиды.
2) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4см, а длина диагонали основания - 6 
см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3) Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 24 и высота равна 5.
Вариант.
1) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна в, высота h. Найти плоский угол при вершине пирамиды, угол между боковой гранью и плоскостью основания.
2) Высота правильной треугольной пирамиды равна 12см, сторона основания 15см. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
3) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 16, боковые ребра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Вариант.
1) В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна в, плоский угол при вершине равен ᵦ. Найти боковое ребро пирамиды.
|
|
|
2) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6см, а длина диагонали основания - 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3) Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 18 и высота равна 7.
Вариант.
1) 2) В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна т, плоский угол при вершине равен α. Найдите:
а) высоту пирамиды;
б) двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания.
2) Высота правильной треугольной пирамиды равна 12см, сторона основания 15см. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
3) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 16, боковые ребра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Вариант.
1) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а высота равна h. Найдите боковое ребро пирамиды, угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
2) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4см, а длина диагонали основания - 6 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3) Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 24 и высота равна 5.
Вариант.
1) В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна п, плоский угол при вершине равен ᵦ. Найдите:
а) высоту пирамиды;
б) двугранный угол между боковой гранью и плоскостью основания.
2) Высота правильной треугольной пирамиды равна 12см, сторона основания 15см. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
3) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 16, боковые ребра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Вариант.
1) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна в, а высота равна h. Найдите боковое ребро пирамиды, угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
2) В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6см, а длина диагонали основания - 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3) Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 18 и высота равна 7.
