Для обеспечения максимальной прочности ось, относительно которой момент инерции максимален, должна быть нейтральной осью

ТЕМА «ИЗГИБ»

Виды изгиба

Внутренние силовые факторы при изгиба

Правила знаков для поперечных сил и изгибающих моментов

 

Элементы конструкции, работающие на изгиб, считают балками.

Балкой считают лонжерон крыла, ось колеса шасси и др. прямые детали, работающие на изгиб.

Изгиб – вид деформации, при котором происходит искривление продольной оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса

Плоскость, в которой расположены внешние силы и моменты – силовая плоскость.

Плоскость, проходящая через продольную ось и одну из главных центральных осей поперечного сечения, называют главной плоскостью бруса. (ХОZ и УОZ)

В зависимости от места приложения действующих сил различают прямой и косой изгиб.

Если силовая плоскость совпадает с главной плоскостью – изгиб прямой.

Если силовая плоскость не проходит через главную плоскость – изгиб косой.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент, называется чистым изгибом.

Он возникает, в частности, когда балка изгибается двумя противоположно направленными парами сил, приложенными к ее торцам.

Изгиб, при котором в поперечном сечении бруса возникает изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным изгибом.

Далее будет изучаться прямой изгиб (выделен на схеме).

Для упрощения расчетных формул (без внесения существенной погрешности в результаты) используются следующие гипотезы:

1 Гипотеза плоских сечений – плоские сечения, перпендикулярные оси балки до нагружения, остаются плоскими и перпендикулярными оси балки и после нагружения.

 

 

2 Гипотеза о ненадавливании продольных слоев – при изгибе продольные слои балки друг на друга не давят.

В результате изгиба можно наблюдать следующее:

- поперечные линии останутся прямыми, но повернутся друг к другу,

- продольные прямые и ось балки искривятся,

- сечения расширятся на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне.

Если условно представить строение балки слоистым или волокнистым, что физически имеет место для конструкций из дерева, а также современных композитных материалов, то волокна на внешней стороне балки окажутся растянутыми, а на внутренней – сжатой.

На границе между ними будет нейтральный слой волокон, которые только искривляются не изменяя своей длины.

Таким образом, изгиб можно определить как одновременное множественное растяжение и сжатие бесконечно большого числа продольных слоёв материала балки.

И поскольку при растяжении и сжатии возникают нормальные напряжения, правомерно ожидать появления таких же напряжений в поперечных сечениях изгибаемого бруса, неравномерно распределенных по сечению.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью. На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

У края сечения имеем максимальные нормальные напряжения.

Таким образом при чистом изгибе возникает ВСФ - изгибающий момент, при поперечном изгибе ВСФ - изгибающий момент и поперечная сила.

 

Принятые правила знаков поперечных сил и изгибающих моментов

Знаки поперечных сил Поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть сечение по часовой стрелке, если против - отрицательной. (внешние силы поднимают левый конец балки или опускают правый конец)

Знаки изгибающих моментов Если действующие на участке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительным, если наоборот - отрицательным. (если внешние силы, действующие на левый конец балки поворачивают его по часовой стрелке, а действующие на на правый – против часовой стрелки)

Напряжения при чистом изгибе

Как было рассмотрено ранее, при чистом изгибе возникают нормальные напряжения. На значение нормальных напряжений в значительной мере влияет профиль сечения балки.

Например, школьную линейку в одной плоскости можно легко согнуть, а в другой плоскости это сделать практически невозможно.

Нормальные напряжения при изгибе определяются

σ =

Мизг – изгибающий момент

 – осевой момент сопротивления изгибу, [мм³]

 –осевой момент инерции сечения при изгибе [мм⁴]

 - расстояние от нейтральной оси до поверхности балки [мм]

Формулы для определения момента сопротивления и полярного момента инерции при изгибе

Форма поперечного сечения	Формулы W	Формулы J
	W =  (D4-d4)	J = 0,05(D4-d4)

 

Для симметричных сечений относительно двух плоскостей (круг, кольцо, квадрат) Wх = Wу, Jх = Jу

Расчет на прочность при изгибе

Рассчитать на прочность – это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.

Условие прочности при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превосходить допускаемое напряжение.

σ _max = ≤ [σ]

По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как при растяжении и сжатии.

Максимальный изгибающий момент определяют из эпюр изгибающих моментов или расчетом.

Так как момент сопротивления изгибу стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньше будут расчетные напряжения.

Определим момент сопротивления изгибу для наиболее распространенных сечений

Прямоугольник ḇхḫ (Если  =2, а =1)

 - сторона прямоугольника, перпендикулярная оси, относительно которой вычисляется момент сопротивления

 Wx =4/6 =0,67,

Если балку положить плашмя, то

Wx = Wx =2/6=0,33

Значит, при прочих равных условиях максимальные напряжения будут у балки, положенной плашмя, чем у той же балки, когда ее габаритный размер  будет по вертикали.

Для обеспечения максимальной прочности ось, относительно которой момент инерции максимален, должна быть нейтральной осью.

Наиболее нагруженные слои материала балки в этом случае располагаются на максимально возможном расстоянии от нейтральной оси.

Эпюра нормальных напряжений имеет вид

Наибольшие напряжения возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси

Не все симметричные сечения одинаково рациональны. Действительно нормальные напряжения таковы, что часть материала, расположенная вблизи нейтральной оси не используется.

В связи с этим появились «облегчённые варианты» прямоугольного сечения – это прокатные профили: двутавр, швеллер.

Несущие элементы этих прокатных профилей – полочки расположены на максимальном расстояние от нейтральной оси, менее нагруженные области вблизи оси изгиба частично удалены, что снижает вес балки.

Для балок из хрупких материалов расчет ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно.

Тавровое сечение применяется для балок из чугуна, материал которых плохо работает на растяжение, лучше – на сжатие. Несимметричное расположение оси изгиба приводит к тому, что несущая нагрузку полочка тавра работает при небольших растягивающих напряжениях.

При проектировочном расчете определяются потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал.

По условию прочности можно определить нагрузочную способность балки.

Момент сопротивления изгибу кольцевого сечения мало отличается от характеристики для сплошного круга с наружным диаметром; в то же время вес балки кольцевого сечения существенно меньше. Поэтому в качестве балок часто используют толстостенные или тонкостенные трубы.

В поперечных сечениях балки при поперечном изгибе возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Формула для вычисления касательных напряжений была выведена инженером – мостостроителем Журавским в 1855г. Потребность в формуле была вызвана тем, что при строительстве мостов применялись деревянные конструкции, а балки из древесины прямоугольного сечения плохо работают на скалывание вдоль волокон.

Формула для балки прямоугольного сечения

τ = 3Q/2А

Формула для балки круглого сечения

τ = 4Q/2A

Эпюра касательных напряжений имеет вид:

Касательные напряжения соответствуют деформации сдвига, в результате чего плоские поперечные сечения при поперечном изгибе не остаются плоскими, как при чистом изгибе, а искривляются.

Большинство балок рассчитывают только по нормальным напряжениям, но 3 вида балок следует проверять по касательным напряжениям, а именно:

- деревянные балки, т.к. древесина плохо работает скалывание,

- узкие балки, т.к. максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя,

- короткие балки, т.к. при относительно изгибающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения (при нагружении вблизи опор).

Для тонкостенных профилей (двутавр, швеллер) необходимо проверять прочность в точках, где полка сочленяется со стеной. Здесь касательные и нормальные напряжения значительны.

Под действием внешних сил ось бруса искривляется, т.е. испытывает линейное и угловое перемещение.

Линейные и угловые перемещения определяются по формулам, которые составлены с учетом вида нагрузок, направлении их к оси бруса и места приложения к брусу. Эти формулы занесены в специальные таблицы.

Условие жесткости при изгибе:

Рабочее линейное или угловое перемещение должно быть меньше или равно допускаемому линейному или угловому перемещению.

 

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ

На двухопорную балку действует сосредоточенная сила, распределенная нагрузка и момент. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

 

1Определение реакций в опорах

На данной схеме опорами являются точки А и В.

Левая опора  (точка А) – неподвижный шарнир, здесь наносим две составляющие реакции вдоль осей координат: R_Ау и R_Ах. Причем можно сразу указать, что R_Ах = 0

R_Ау направим вертикально вверх.

Правая опора (точка В) – подвижный шарнир, здесь реакция R_В направлена перпендику-лярно опорной поверхности.

Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной

G = q·CA;                         G = 4 · 2 = 8 кН

Сосредоточенную нагрузку помещаем в середине пролета СА и реакции опор определяем составляя уравнения равновесия.

Составляем уравнение моментов относительно точки А

∑М_А = - G·СА/2 – М - R_В·АВ + F·АЕ = 0

R_В·АВ= - G·СА/2 – М + F·АЕ

R_В·4 = -8·1 – 4 + 4·5,5                             R_В·=  = 2,5 кН

Реакция направлена верно.

Составляем уравнение моментов относительно точки В

∑М_В = - G (СА/2 + АВ) + R_Ау·АВ – М + F·ВЕ

R_Ау·АВ = G (СА/2 + АВ) + М - F·ВЕ

R_Ау·4 = 8·5 + 4 – 4 ·1,5                            R_Ау =  = 9,5 кН

Реакция направлена верно.

Проверка правильности решения

Используем уравнение равновесия ∑ F_у = 0

- G + R_Ау + R_В – F = 0

-8 + 9,5 + 2,5 – 4 = 0

Решение выполнено верно.

2 Для упрощения расчетов при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов проведем расчет по характерным точкам балки без составления уравнений.

При этом используем характерные особенности построения эпюр Q  и Ми:

1 на участке балки, где действуют сосредоточенные силы, эпюра Q очерчивается прямой, параллельной оси балки, а эпюра Ми – наклонной прямой;

2 на участке балки, действует распределенная нагрузка, эпюра Q очерчивается наклонной прямой, а эпюра Ми – параболой выпуклостью навстречу распределенной нагрузке;

3 в точке балки, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре моментов Q наблюдается

скачок на величину этой силы, а на эпюре Ми – излом.

4 в точке балки, где приложен внешний момент, на эпюре Q не наблюдается никаких изменений, а на эпюре Ми наблюдается скачок на величину внешнего момента.

Определение поперечных сил Q:

Q_С = 0

Q_Аслева = - q·СА = -8 кН

Q_{Асправа} = - q·СА + R_Ау = -8 + 9,5 = 1,5 кН

Q_D = Q_{Асправа} = 1,5 кН

Q_Вслева  = 1,5 кН

Q_{Dсправа =} - q·СА + R_Ау+ R_В = -8 + 9,5 +2,5 = 4 кН

Q_Е = - q·СА + R_Ау+ R_В – F = -8 + 9,5 +2,5 – 4 = 0

Определение Ми

М_С = 0

М_А = - q·(СА/2)·СА = -8 кН·м

М_Dcлева = - q·СА·(СА/2 +АD) + R_Ау·AD = - 4·2/1·3 + 9,5·2 =-5 кН·м

М_Dcправа = - q·СА·(СА/2 +АD) + R_Ау·AD – М = = - 4·2/1·3 + 9,5·2 – 4 = - 9 кН·м

М_В = - q·СА·(СА/2 +АВ) + R_Ау·AВ – М = -4·2/1·4 + 9,5·4 – 4 = 6

М_Е = - q·СА·(СА/2 +АЕ) + R_Ау·AЕ – М + R_В·ВЕ = -4·2/1·6,5 + 9,5·5,5 – 4 + 2,5·1,5 = 0

 

 (ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ С СОСТАВЛЕНИЕМ УРАВНЕНИЙ ЧИТАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО ОЛОФИНСКАЯ В.П. ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА: КУРС ЛЕКЦИЙ С ВАРИАНТАМИ ПРАКТИЧЕСКИХ И ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ С 246-251, 255-260)