Историческая справка

Ход урока

1.Организационный момент (сообщение темы и цели урока).

Актуализация знаний

1) Опорные знания: производная, таблица производных, физический смысл производной.

2) Связь с прошлой темой: на уроке используются таблицы производной, вычисляются производные функций.

Задание классу:

1. Вычислить производные следующих функций:

(1)^/ = ((2х-3)⁶)^/=

(х)^/ = ((х⁵+20))^/=

(30х)^/= (Соs 3х)^/=

(х³)^/= (5х¹⁰)^/=

1. Назвать физический смысл производной.

3.Изучение нового материала ( Формирование новых понятий и способов действий)

Создание проблемной ситуации.

Задача: При обработке на станке деталь нагреть до 120⁰. Измерения полагается производить при 20⁰. Скорость охлаждения детали пропорциональна разности температур детали и воздуха в цехе. Сколько же нужно ждать?

Здесь T(t) – температура детали, T^/(t) = k(T-18⁰)^/- скорость её охлаждения.

Ставится вопрос: зная производную некоторой функции, мы должны найти саму функцию. Как это сделать?

Учащиеся выполняют задания: заполнить пропущенные места в скобках

(…)^/ = 2х (…)^/ = 0

(…)^/ = 4х³ (…)^/ = 25

Как можно иначе сформулировать это задание (найти саму функцию, зная её производную; восстановить функцию по производной)?

Восстанавливаемая функция называется первообразной. Дайте определение первообразной функции.

Помощь учителя: если мы обозначим саму функцию через f(x), а её первообразную через F(x), то куда поставить штрих в равенстве F=f? Или: как проверить, что некоторая функция F(x) является первообразной для f(x)?

Учащиеся обсуждают и дают определение первообразной.

На доске записи:

Производная – «производит» на свет новую функцию, первообразная - первичный образ.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F^/(x) = f(x) на заданном промежутке.

4. Закрепление нового материала ( Применение знаний и новых способов действий в ситуациях по образцу и в измененных условиях)

1) С целью закрепления определения первообразной выполнить следующие задания:

а) Проверить, что функция F(x) есть первообразная для f(x):

1) F(x) = x³-2x+1 f(x)=3x²-2

2) F(x)= x⁴-7 f(x)=4x³

3) F(x)=10 f(x)=0

4) F(x)= f(x)=1/2 x€]0;+ [

5) F(x) =10x¹⁰ f(x)=200x¹⁹

б) Найти первообразную для функции f(x):

1) f(x)= x³

2) f(x) = x²

3) f(x) = x

2). После решения второго задания появляется необходимость как-то упорядочить процесс нахождения первообразной; с этой целью учащиеся формулируют алгоритм:

1. Подобрать функцию F(x)
2. Найти её первообразную F^/(x)
3. Сравнить полученную производную F^/(x) с данной функцией f(x)
4. Если они совпадают, то задача решена, если нет, то вернуться к пункту 1).

Задание: Первообразные для следующих функций находим, пользуясь данным алгоритмом.

1. f(x) = 1
2. f(x) = x³
3. f(x) = 0,25
4. f(x) = 5x
5. f(x) = 6/x
6. f(x) = 7x⁸
7. f(x) = 14x¹⁰
8. f(x) = 20x³

Историческая справка.

Математический анализ имеет две главные составляющие его части: дифференциальное и интегральное исчисления. С элементами дифференциального исчисления мы познакомились в 10-м классе, впереди – изучение интегралов.
«Интеграл»- «интегрирование» - «интеграция»… Однокоренные слова, вышедшие за пределы математики и ставшие почти «обиходными». Пожалуй, нет другого математического термина, который использовался бы в обычной жизни так же часто, как термин «интеграл». Музыкальная группа «Интеграл», кафе «Под интегралом», банк «Интеграл-капитал», а слова «интегрирование» и «интеграция» встречаются на каждом шагу. В газетах мы читаем об интеграции наук, культур, интеграции экономики, политики также ведут речь об интеграционных процессах. Почему? Ведь есть масса других красивых математических слов: экспонента, логарифм, синус — звучит ничуть не хуже.

Возможно, здесь играет свою роль красивый знак интеграла или понятный смысл слова: восстановление, целостность, суммирование.

А быть может, привлекает некая таинственность интеграла? Непонятно, почему один и тот же математический инструмент позволяет находить и площади фигур, и формулу скорости по известной формуле ускорения. Почему операция, обратная дифференцированию, оказывается как-то связанной, скажем, с объёмами тел вращения? Конечно, доказаны все необходимые теоремы, но эта эффективность интеграла всё равно завораживает.