2020-04-12
131МАТЕМАТИКА
Группа 88
Тракторист-машинист с/х производства
Марта 2020 г.
Практическое занятие
Тема: «Вычисление объёма пирамиды, конуса и шара»
Цели:
- систематизировать, обобщить знания и умения по применению различных методов решения задач;
- развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.
Продолжительность занятия - 2 часа
Оборудование: карточки с заданиями, чертежные инструменты, ручка, тетрадь
Краткие теоретические сведения:
Краткое обсуждение тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении задач.
1. Объём пирамиды вычисляется по формуле:
, где S – площадь основания, h - высота
| hh |
2. Объём конуса вычисляется по формуле:
, где S – площадь основания, h – высота
| h |
3. Объём шара равен: 
R3
| R |
Примеры решения задач:
Пример 1.
В правильной треугольной пирамиде 
с вершиной 
биссектрисы 
пересекаются в точке 
, 
, 
. Найдите длину отрезка 
. (См. Рис. 1.)
Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи
Решение. Так как пирамида правильная, то точка будет проектироваться в центр треугольника 
, то есть в точку (точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника и есть его центр). Значит, найти надо высоту пирамиды. Мы знаем, что 
, откуда 
Ответ: 
.
Пример 2
От треугольной пирамиды отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания 
. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды 
, если 
. (См. Рис. 2.)
Рис. 2. Иллюстрация к условию задачи 2
Решение. Проблема здесь в том, что найти площадь основания и высоту нельзя. Но это и не нужно. Запишем два равенства 
и 
. Заметим, что раз вершина и плоскость основания у новой пирамиды те же, то и высота та же. (См. Рис. 3.)
Рис. 3. Высота у новой пирамиды и старой одна и та же
То есть чтобы посчитать объем необходимо знать, во сколько раз площадь основания новой пирамиды меньше площади основания исходной. 
, т.к. 
с коэффициентом подобия 
.
Тогда 
.
Ответ: 
.
Пример 3
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра 
, если все его ребра увеличить в два раза 
? (См. Рис. 4.)
Рис. 4. Исходный и увеличенный тетраэдры
Решение. Заметим, что в этом случае площадь основания увеличится в 
раза, т. к. исходную сторону 
увеличили в 
раза и получили треугольник со стороной 
. (См. Рис. 5.). То есть 
.
Рис. 5. Основание исходного и увеличенного тетраэдра
Высота тетраэдра также увеличится в раза. Доказать это можно так: опустим высоту 
и рассмотрим прямоугольный 
: в нем гипотенуза увеличилась вдвое и катет тоже как радиус описанной окружности около основания. Значит, треугольник перейдет в подобный с коэффициентом 
. (См. Рис. 6.) То есть 
.
Рис. 6. Треугольник с коэффициентом подобия
. Раз площадь увеличилась в раза, а высота – в , то объем увеличится в 
раз 
.
Ответ: в раз.
Задания для практической работы
Вариант 1
1. Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см, плоский угол при вершине 60º. Найти объём пирамиды.
2. Образующая конуса равна 4 см. а угол при вершине осевого сечения равен 90º. Найти объём конуса.
3. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 12 см, а острый угол 45º, вращается вокруг катета. Найти объём полученного тела вращения.
4. В цилиндр вписан шар радиуса R. Найти отношение объёмов цилиндра и шара.
Вариант 2
1. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45º. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найти объём пирамиды.
2. Высота конуса равна диаметру его основания. Определить объём конуса, если его высота равна Н.
3. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 6 см, а острый угол 45º, вращается вокруг катета. Найти объём полученного тела вращения.
4. В сферу вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол α. Найти объём цилиндра, если радиус сферы равен r.
Домашнее задание:
Оформить отчет по практической работе
Список литературы:
Геометрия 10-11 класс, автор Атанасян А.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., учебник для общеобразовательных организаций, базовый и углубленный уровни, 6 издание, Москва «Просвещение» 2019г.
