Узагальнення поняття степеня

Вступ

 

Введення поняття степеня з ірраціональним показником

Означення поняття степеня з ірраціональним показником

Узагальнення поняття степеня

Список літератури

Вступ

 

З поняттям степені з ірраціональним показником учні ознайомуються або у 10 або у 11(12) классі залежно від профілю навчання та навчального закладу. Якщо розглянути підручник Бурда М.І. Дубінчук О.С. Мальований Ю.І. Математика 10-11 для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю, то це поняття вводиться в 11 класі, причому, воно узагальнюється до поняття степеня з дійсним показником, у підручнику Бевз В.Г. Алгебра 10-11 для загальноосвітніх шкіл, з цим матеріал учні знайомляться ще в 10 класі.

Введення поняття

Після того, як для будь-якого дійсного числа ми визначили операцію пінесення до натурального степеня, для будь-якого  ми визначили операцію піднесення до нульового степеня та цілий від'ємний степінь, для будь-якого  – у додатний дробовий степінь, для будь-якого – у від'ємний дробовий степінь, з'являється питання: чи можна якимось чином визначити операцію піднесення до ірраціонального степеня, тобто визначити зміст виразу , для будь-якого дійсного х.

Виявляється, що для додатних чисел а можна надати сенсу запису , .

Для цього треба розглянути 3 випадки: а=1, а>1, 0<a<1

1) а=1, то за визначенням .

2) Якщо а>1, то оберемо будь-яке раціональне число , та будь- яке раціональне число , тоді очевидно, що , а тому . Але , та оскільки а>1, тоді  і нарешті

, тобто .

Під  розуміють таке число, яке лежить між  та , при будь-якому виборі  та . Можна довести, що число  єдине для будь-якого а>1 та ірраціонального .

3) Якщо 0<a<1, тооберемо будь-яке раціональне число , та будь- яке раціональне число , тоді очевидно, що , а тому .

Під  розуміють таке число, яке лежить між  та , при будь-якому виборі  та . Можна довести, що число  єдине для будь-якого 0<a<1 та ірраціонального .

Розглянемо приклади:

 Для визначення степеня обирають 2 послідовності:

1; 1,7; 1,73; …

2; 1,8; 1,74;…

Причому, ці послідовності такі, що

Отримаємо наближення  з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо  з надлишком та недостачею.

 Для визначення степеня обирають 2 послідовності:

1,4; 1,41; 1,414; …

1,5; 1,42; 1,415;…

Причому, ці послідовності такі, що

Отримаємо наближення  з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо  з надлишком та недостачею.

Якщо  - від'ємне ірраціональне число (, ), тоді вираз має той же самий сенс, який маєть степені із від'ємним раціональним показником:

 

 та .

 

Означення поняття

А тепер дамо означення степеня з ірраціональним показником:

Означення

Степенем з ірраціональним показником  та основою а, де а>0, називається дійсне число , яке є границею послідовності , де - послідовність раціональних чисел така, що границя .

Узагальнення поняття степеня

Узагальнимо поняття степеня:

Означення

Степенем  з дійсним показником  та основою а, де а>0, називається границя послідовності , де - послідовність раціональних чисел така, що границя .

При цьому для степеня з будь-яким дійсним показником справджуються ті ж самі властивості, як і для степеня з раціональним показником, а саме:

 

1) , .

 

2) , .

 

3) , .

 

4) , .

 

5) , .

 

6) , , .

Список літератури

1. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закл. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006. – 384 с.

2. Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10–11 кл. загальноосвіт. навч. закл. – К.: Освіта, 2005. – 255 с.

3. Бурда М.І., Дубінчук О.С., Мальований Ю.І. Математика 10-11: Навч. посіб. для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю. – К.: Освіта,2004. – 223с.

4. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс​. А.Н. Колмогоров - 2001. – 320с.