Векторное произведение векторов

Скалярное произведение векторов.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение или :

Алгебраические свойства скалярного произведения.

1°. − выполняется коммутативный закон;

2°. − выполняется дистрибутивный закон;

3°. − константу можно выносить за знак скалярного произведения;

4°. − скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля;

5°. .

Пример.

Найти и , если .

Решение.

Ответ: =15, = .

Скалярное произведение в декартовой системе координат.

Скалярное произведение базисных ортов декартовой системы:

, т.к. все орты взаимно перпендикулярны, а .

Теорема 1. Если векторы и заданы своими координатами в декартовой системе координат, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. Т.е.

Доказательство:

что и требовалось доказать.

Геометрические приложения скалярного произведения.

1°. − условие ортогональности двух векторов.

2°. в декартовом базисе .

3°. .

Пример.

Найти угол между векторами .

Решение.

Ответ: угол между векторами равен .

Векторное произведение векторов.

Определение 2. Упорядоченная тройка векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки

тройка − правая.

Определение 3. Упорядоченная тройка векторов называется левой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден по часовой стрелке

тройка − левая

Очевидно, что если в тройке поменять местами хотя бы пару векторов, то ориентация тройки изменится. Поэтому мы и говорим об упорядоченности.

Определение 4. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обладающий следующими свойствами:
1) длина вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними;
2) вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;
3) упорядоченная тройка векторов − правая.
Обозначение или :

− правая.

Алгебраические свойства скалярного произведения.

1°. − коммутативный закон не выполняется.

2°. − дистрибутивный закон выполняется.

3°. − константу можно выносить за знак векторного произведения.

4°. − векторный квадрат любого вектора равен нулю.

Пример.

Упростить выражение .

Решение.

Ответ: = .

Векторное произведение в декартовой системе координат.

Векторное произведение базисных ортов декартовой системы удобно выполнять так:

по схеме: в противоположном направлении:

Теорема 2. Если векторы и заданы своими координатами в декартовой системе координат, то их векторное произведение равно значению обобщенного определителя, в котором элементами первой строки являются базисные орты, элементы второй строки – координаты первого из перемножаемых векторов, а элементы третьей строки – координаты второго вектора.

Т.е., если , то .

(без доказательства)

Геометрические приложения векторного произведения.

1°. Модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

2°. − условие коллинеарности двух векторов.
Замечание. В таком виде условие коллинеарности используется редко, обычно мы считаем, что векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. И наоборот:
если , то .
При этом, если λ > 0, то векторы сонаправлены и угол между ними равен нулю, если же λ < 0, то векторы противоположно направлены и угол между ними равен π.

Пример.

Найти площадь треугольника АВС, заданного координатами своих вершин А (2, 1, 0), В (3, -2, 1), С (0, 1, 3).

Решение.

Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABCD, построенного на векторах и . Следовательно, его площадь равна половине модуля векторного произведения этих векторов. Координаты векторов: .