Задача о вычислении пути
Согласно физическому смыслу первой производной, производная функции в точке есть мгновенная скорость точки, т.е. . Отсюда, . Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t2 получаем
Тогда путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью (е) за отрезок времени [ ]выражается интегралом
(1)
Пример 1. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой = 2t+3t2(м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.
Решение.
Пример 2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v =(6t2+2t) м/с, второе – со скоростью v2=(4t+5) м/с. На каком расстояния друг от друга они окажутся через 5 с?
Решение. Искомая величина есть разность расстояний, пройденных телами за 5 с.
Таким образом, S=S1-S2= 275-75=200 (м).
Задача о вычислении работы переменной силы
Пусть материальная точка под действием силы F движется по прямой. Если действующая сила постояна, а пройденный путь равен s, то как известно из курса физики, работа А этой F вычисляется по формуле:
|
|
А= F*s
Работу переменной силы f(x) при перемещении по оси Оx материальной точки от x=a до x=b, находим по формуле (3):
A= (2)
Решении задач на вычисление работы силы упругости, связанных с растяжением и сжатием пружин, основывается на законе Гука. По закону Гука сила F, растягивающая или сжимающая пружину, пропорциональная этому растяжению или сжатию, т.е. F=kx, где x – величина растяжения или сжатия, k – коэффициент пропорциональности.
Пример 1. Сила упругости F пружины, растянутой на 11 = 0,05 м, равна 3H. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 12 =0,1 м?
Решение. Подставив данные в формулу закона Гука, получим: 3=k*0.05, т.е. k=60, следовательно, сила упругости выражается соотношением F=60x. Найдем работу переменной силы по формуле (2), полагая, что а=0; b=0,1:
A= =0,3Дж
Задача о силе давления жидкости
Согласно закону Паскаля величина P давления жидкости на горизонтальную площадку вычисляется по формуле P=gphS, (4)
Где g – ускорение свободного падения в м/с2;
p– плотность жидкости в кг/м3;
h – глубина погружения площадки в м;
S – площадь площадки в м2.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, у1 = f 1(x) и у2= f 2(х); система координат выбрана так, как указано на рисунке 1.
Для решения задачи разобьем пластину на n частей (малых горизонт альных полосок) прямыми, параллельными поверхности жидкости (т.е. параллельными оси OY). На глубине х выделим одну из них и обозначим через f(x) ее длину, а через ее ширину. Приняв полоску за прямоугольник, находим ее площадь .
|
|
Найдем дифференциал dp этой функции.
Тогда по закону Паскаля интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получим
P=g (3)
Пример
Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найдем силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м3), наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которой 0,4 м x 0,7 м.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы оси Оy и Оx соответственно содержали верхнее основание и боковую сторону вертикальной стенки аквариума. Для нахождения силы давления воды на стенку воспользуемся формулой (3). Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому Так как пределы интегрирования а=0 и b=0,4, то получим:
Контрольные вопросы
- Какие физические величины можно вычислить с помощью определенного интеграла?
- По какой формуле вычисляется путь, пройденной точки с переменной скоростью?
- По какой формуле вычисляется работа переменной силы?
- От каких величин зависит величина силы давления на погруженную в жидкость пластину?
- С помощью какой формулы вычисляется сила давления жидкости на вертикальную пластину?