2020-05-12
682
Табличный способ построения логики сложных высказываний использует специальный язык, использующий следующие символы:
p, q, r, s, p1, q1, r1, s1… - пропозициональные переменные;
- логические термины (логические константы);
(,) – скобки.
Выражениями этого языка являются формулы: пропозициональная переменная есть формула; если А есть формула и В есть формула, то 
- формулы; ничто иное не есть формула.
Принимается оглашение об опускании скобок в формулах. Опускаются внешние скобки. Считают, что знак связывает сильнее, чем знаки 
; знак 
- теснее, чем знаки 
; знак 
- теснее, чем знаки 
; знак 
теснее, чем знак 
. Логические термины определяются посредством таблиц истинности (см. тему «Суждение»). дается метод построения таблиц истинности для формул. Число строк в таблице определяется по формуле 2n, где n – число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу, а 2 показывает число истинностных значений (и, л), (1, 0).
Построим таблицу истинности для формулы:
.
Формула содержит три различные переменные. Следовательно, число строк в таблице равно 2n=23=8. Разделим число строк пополам и напишем под первой пропозициональной переменной (первой слева) четыре раза 1 и четыре раза 0:
|
|
|
| p | q | r |
| 1 | ||
| 1 | ||
| 1 | ||
| 1 |
| 0 | ||
| 0 | ||
| 0 | ||
| 0 |
Каждую половину всех строк, т.е. в данном случае каждые четыре строки, в свою очередь, разделим пополам и и напишем под второй по вхождению слева пропозициональной переменной, отлично от первой пропозициональной переменной, в обеих половинах строк два раза 1 и два раза 0:
| p | q | r |
| 1 | 1 | |
| 1 | 1 |
| 1 | 0 | |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 | |
| 0 | 1 |
| 0 | 0 | |
| 0 | 0 |
Разделим, далее, половину каждой половины пополам и под третьей о вхождению слева переменной, отличной от двух переменных, напишем 1, если эта часть (строка) нечетная (при пересчете сверху вниз) или 0, если эта часть (строка) четная:
| p | q | r |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Деление производится до тех пор, пока полученная в результате деления часть не будет состоять из одной строки.
Одна и та же переменная может входить в формулу несколько раз. В одной и той же строке под семи вхождениями одной и той же переменной пишется одно и то же значение, т. е. для завершения построения таблицы истинности следует под каждым вторым (третьим и т.д.) вхождением переменной написать те же значения, что и под первым вхождением этой переменной.
| p | q | r | 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
|
|
|
Эта формула имеет значение «истина» при каждом наборе значений входящих в нее переменных.
Формула, принимающая значение «истина» при любом наборе значений входящих в нее переменных, называется тождественно-истинной или тавтологией, или законом логики или общезначимой.
Формула, принимающая значение «ложь» при любом наборе значений входящих в нее переменных, называется тождественно-ложной или противоречием.
Формула, принимающая значение «истина» хотя бы при некоторых наборах значений входящих в нее переменных, называется выполнимой.
Логика, построенная табличным способом, дает эффективную процедуру для выявления законов логики и видов отношений между суждениями.
Опишем способ установления логических связей между суждениями:
· Суждения переводятся на язык логики высказываний;
· Для формул, соответствующих суждениям, строятся сравнимые таблицы истинности;
· Устанавливаются виды отношений между суждениями на основе следующих определений:
1. Суждения совместимы по истинности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение «истина»;
2. Суждения совместимы по ложности, если и только если в сравнимых таблицах есть строка, в которой все формулы имеют значение «ложь»;
3. из суждений А1, А2, …, Аn следует суждение В, если и только если в сравнимых таблицах нет строки, в которой все формулы, соответствующие суждениям А1, А2, …, Аn имеют значение «истина», а формула, соответствующая суждению В, имеет значение «ложь».
Остальные отношения являются производными по отношению к названным.
Пример.
Пусть даны суждения «Иванов не знал потерпевшего, но был на месте преступления», «Если Иванов был на месте преступления, то он совершил это преступление или знал потерпевшего», «Иванов совершил это преступление». Переводами эих суждений а язык алгебры логики являются, соответственно, формулы 
, 
, 
. Построим для этих формул таблицы истинности таким образом, чтобы их можно было сравнивать. Для этого выпишем все переменные, входящие в какие-либо из этих формул. Это переменные p, q, r. Число строк таблицы – 23=8.
| p | q | r | 
|
| 
|
|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Между первыми двумя суждениями и последним суждением имеется отношение логического следования. Эти суждения (все три) совместимы по истинности и несовместимы по ложности.
