Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Математика, для группы Св-18

Тема: «Первообразная»

1. Понятие первообразной

2. Табличные первообразные

3. Правила нахождения первообразной.

Основная литература: «Математика» 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г.Мордкович.

            Ребята, мы с вами умеем находить производные функций, используя различные формулы и правила. Сегодня, мы с вами будем изучать операцию, в некотором смысле, обратную к вычислению производной. Производная применяется во многих ситуациях в реальной жизни, мы помним производная – скорость изменения функции в конкретной точке, то есть процессы, связанные с движением и скоростью хорошо описываются в этих терминах.

       Давайте рассмотрим вот такую задачу: Скорость движения объекта, по прямой, описывается формулой V=gt. Требуется восстановить закон движения.

       Мы хорошо знаем формулу:

  где S- закон движения.

       То есть, наша задача сводится к поиску функции S=S(t), что ее производная равна gt. Посмотрев внимательно, можно догадаться, что

Давайте проверим сами себя, что является полезным и не стоит забывать проверять правильно ли мы решили конкретную задачу

       В этой задаче, зная производную функции, мы нашли саму функцию, то есть выполняли обратную операцию.

       Но стоит обратить внимание вот на такой момент:

       Решение нашей задачи требует уточнения, если к найденной функции прибавить любое число – константу, то значение производной не изменится

Решение нашей задачи требует уточнения, если к найденной функции прибавить любое число – константу, то значение производной не изменится

Получается, наша задача имеет бесконечное множество решений, ребята обратите внимание!

       Если в задаче не задано начальное или какое-то особое условие не забывайте прибавлять константу к решению.        

                   Как же называется такая операция?

                   Операция обратная дифференцированию называется – интегрированием.

                   Нахождение функции по заданной производной – интегрирование.

Сама функция будет называться первообразной, то есть образ, то из чего была получена производная функции.

Обозначение общего вида первообразных. +c

Определение. Функцию y=F(x) называется первообразной функции у=f(x) на промежутке Х, если для любого хϵХ выполняется равенство

ПОСМОТРИТЕ ТАБЛИЦУ ПЕРВООБРАЗНЫХ.

Запишем несколько правил, которые нам хорошо помогут при нахождении первообразных, все они очень похожи на правила дифференцирования.

           

       Правило1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Пример. Найти первообразную для функции

                  

Правило2. Если F(x) – первообразная для f(x), то k·F(x) – первообразная для функции k·f(x) (Коэффициент можем спокойно выносить за функцию)

       Пример. Найти первообразные функций:

       а)       б)                  

       Решение.

       а) Первообразной для sin(x) служит минус cos(x), тогда первообразная исходной функции примет вид:

       б) Первообразной для cos(x) служит sin(x), тогда первообразная исходной функции примет вид:

Правило3. Если у=F(x) - первообразная для функции y=f(x), то первообразная для функции y=f(kx+m) служит функция

       Пример. Найти первообразные следующих функций

       а)    f(x)=cos (7x) б)                       

       Решение.

       а) Первообразной для cos(x) служит sin(x), тогда первообразная для функции f(x)=cos(7x) будет функция

б) Первообразной для sin(x) служит минус cos(x), тогда первообразная для функции           будет функция