Ответы на проблемные задачи

 

53. 1.  - пропорциональность мгновенных токов и напряжений на идеальном резисторе (включая постоянные токи и напряжения),  - электрическое сопротивление идеального резистора. Формула широко применяется для технических (реальных) резисторов, однако для каждого такого резистора существует верхний предел частоты (скорости изменения тока), выше которого формула становится неточной, пропорциональность тока и напряжения нарушается (в разные моменты времени получаются разные значения сопротивления).

 - пропорциональность мгновенных токов и напряжений на входных зажимах двухполюсников, составленных из идеальных резисторов,  - эквивалентное (входное) сопротивление двухполюсника. Область применения и ограничения – те же, что и для предыдущей формулы.

 - пропорциональность действующих значений периодических (необязательно синусоидальных) токов и напряжений,  - активное сопротивление технического резистора (у идеального резистора омическое и активное сопротивления одинаковы). Активное сопротивление возрастает с увеличением частоты тока тем сильнее, чем больше размеры поперечного сечения проводника. Формула применяется в диапазоне низких частот, верхняя граница которого различна для разных резисторов (проводников).

Если формула  применяется к двухполюснику, содержащему кроме активных также и реактивные элементы, то  - активная составляющая приложенного синусоидального напряжения (действующее значение), а  - эквивалентное активное сопротивление двухполюсника, которое является функцией частоты приложенного напряжения. Обычно схемы замещения различных электротехнических устройств в разных режимах (в том числе в разных диапазонах частот) выглядят различным образом. Рассматриваемая формула остается справедливой (приемлемой) пока сохраняется схема замещения. После перехода к другой схеме замещения параметры, как правило, изменяются.

 - пропорциональность действующих значений тока и индуктивной составляющей синусоидального напряжения на катушке или двухполюснике,  - индуктивное сопротивление катушки или двухполюсника. Обычно применяется в комбинации с предыдущей формулой , ограничения на применение обеих формул одинаковы. Реактивное сопротивление, частным случаем которого является , зависит от частоты тока.

 - пропорциональность действующих значений тока и синусоидального напряжения на конденсаторе или емкостной составляющей напряжения на двухполюснике,  - емкостное сопротивление конденсатора или двухполюсника. Емкостное сопротивление зависит от частоты тока. Условия применимости аналогичны для трех последних формул (, , ).

 - пропорциональность действующих значений синусоидального тока и напряжения на любом линейном двухполюснике,  - полное сопротивление двухполюсника, которое является геометрической суммой активного и реактивного сопротивлений. Полное сопротивление двухполюсника, как правило, зависит от частоты приложенного напряжения. Формула применяется в различных комбинациях с тремя предыдущими формулами в аналогичных с ними условиях.

 - пропорциональность комплексного тока и комплексного напряжения на резисторе или активной составляющей комплексного напряжения на двухполюснике,  - активное сопротивление резистора или эквивалентное активное сопротивление двухполюсника. Эта формула является комплексным аналогом формулы  и включает ее в себя в виде равенства модулей правой и левой частей (). Когда при высоких частотах начинает нарушаться равенство  (для резистора), одновременно начинает нарушаться и равенство аргументов комплексного тока и напряжения, то есть появляется сдвиг по фазе между синусоидальным током и напряжением.

 - комплексный аналог формулы , наряду с равенством модулей  содержит утверждение, что фаза индуктивной составляющей синусоидального напряжения на  больше фазы тока (

).

 - комплексный аналог формулы , кроме равенства модулей  констатирует, что фаза емкостной составляющей синусоидального напряжения на  меньше фаза тока (

).

 - комплексный аналог формулы ,  - комплексное сопротивление двухполюсника; , где  - разность фаз синусоидального напряжения и тока. Кроме равенства модулей  комплексное равенство дает соотношение между фазами напряжения и тока (). Область применения комплексных формул - теория цепей переменного синусоидального тока. Ограничения на их применение аналогичны ограничениям, наложенным на соответствующие действительные формулы (, , , ).

2. Коэффициент в формуле (1.1)  - электрическое сопротивление идеального резистора, формула связывает мгновенные токи и напряжения, необязательно синусоидальные. Коэффициент в формуле (3.8)  - активное сопротивление технического резистора, формула связывает действующие значения тока и напряжения, как правило, синусоидальных.

3. В формулах (3.11) и (3.14),  и , коэффициенты называются сопротивлениями, индуктивным и емкостным. Строго говоря, электрическое сопротивление характеризует противодействие, которое кристаллическая решетка проводника оказывает движению свободных носителей заряда (обычно электронов). Часть энергии движущихся заряженных частиц передается кристаллической решетке; проводник нагревается, мощность нагрева определяется по закону Джоуля - Ленца .

Коэффициент  характеризует пропорциональность синусоидального напряжения, уравновешивающего ЭДС самоиндукции, и тока в катушке. Внешнее сходство формул  и  позволяет назвать коэффициент  сопротивлением (индуктивным), но последняя формула описывает совсем другой физический процесс, чем понятие электрического сопротивления. Величина  характеризует противодействие, которое оказывает ЭДС самоиндукции перемещению зарядов, вызванному внешним источником. Формула  связана с правилом Ленца в большей степени, чем с законом Ома. Величина  характеризует не нагрев проводника, а уменьшение энергии носителей заряда под действием ЭДС самоиндукции. Это изменение энергии может быть использовано в качестве механической работы (если катушка может двигаться в пространстве).

 Ом.

Коэффициент  характеризует пропорциональность синусоидального напряжения и тока конденсатора. Формально его можно назвать сопротивлением (емкостным), но фактически он связан с тем, что заряженный конденсатор отталкивает новую порцию заряда, поступающего в конденсатор. Формула  похожа на формулу Ома, а фактически описывает процесс, связанный с законом Кулона (законом притяжения и отталкивания электрических зарядов). Величина  характеризует не нагрев проводника, а увеличение энергии носителей заряда, накапливающихся на проводниках (пластинах конденсатора).

 Ом.

4. Сходство формул  и  заключается в том, что они демонстрируют пропорциональность действующих значений тока и напряжения при фиксированной частоте. Ток и напряжение необязательно синусоидальны. Формулы отличаются условиями применения: первая относится к резистору с активным сопротивлением , вторая - к любому линейному двухполюснику с полным сопротивлением . Первая формула является частным случаем второй.

5. Формула  является обобщением формулы . Первая формула кроме пропорциональности тока напряжения на резисторе демонстрирует совпадение фаз синусоидального тока и напряжения. Вместе с тем можно утверждать, что область применения второй формулы шире, чем область применения первой, так как вторую формулу можно применять в цепях с периодическими несинусоидальными токами, а первую только в цепях синусоидального тока.

Формула  является обобщением формулы . Кроме информации о пропорциональности действующих значений тока и напряжения на идеальной катушке первая формула показывает, что фаза напряжения на  больше фазы тока. Обе формулы применяются при расчете цепей переменного синусоидального тока в установившихся режимах.

Формула  является обобщением формулы . Кроме информации о пропорциональности действующих значений тока и напряжения на конденсаторе первая формула показывает, что фаза напряжения на  меньше фазы тока. Обе формулы относятся к цепям синусоидального тока.

Формула  является обобщением формулы . Первая формула включает в себя вторую и кроме того показывает, что между синусоидами входного тока и напряжения есть сдвиг фаз  ().

6. В системе уравнений Кирхгофа число неизвестных токов и напряжений больше числа уравнений. С помощью уравнений, представляющих различные модификации закона Ома, напряжения исключаются из системы уравнений Кирхгофа. Число неизвестных токов равно числу уравнений.

7. Формулу  () можно называть обобщенным законом Ома на том основании, что два последовательно включенных резистора можно заменить эквивалентным резистором с сопротивлением , а формула  (И 2.21) является одним из представлений закона Ома. Возможно, формулу () было бы точнее называть вторым законом Кирхгофа для простейшей (одноконтурной) цепи.

8. До сих пор все варианты закона Ома были записаны в предположении, что направления тока и напряжения на двухполюснике совпадают. Если изменить, например, направление тока, то перед символом тока нужно изменить знак (поставить минус). Формула Ома принимает вид . Аналогичную перемену знака нужно сделать и во всех остальных вариантах.

54. Первый закон Кирхгофа для цепей постоянного тока:

алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю;

для цепей переменного тока:

алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в любой момент времени равна нулю;

для цепей переменного синусоидального тока в комплексной форме:

алгебраическая сумма комплексных токов в любом узле электрической цепи переменного синусоидального тока равна нулю.

Вторая формулировка отличается от первой словами “в любой момент времени”, третья от первой словами “комплексных” и “переменного синусоидального тока”. Вторая формулировка является универсальной, первая и третья – ее частные случаи. Первая формулировка применяется для цепей постоянного тока, третья – для цепей переменного синусоидального тока, обеим формулировкам соответствуют численные равенства. Вторая формулировка дает равенство, связывающее функции времени (любые переменные токи).

Токи, направленные от узла, принято записывать в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, с плюсом, токи, направленные к узлу, - с минусом.

Выбор направлений токов в ветвях равносилен выбору системы координат в электрической цепи. Направление тока в каждой ветви выбирается до начала расчета (прежде чем начинается составление уравнений). Электрический ток принимает положительное или отрицательной значение в зависимости от того, движутся ли электрические заряды в выбранном или в противоположном направлении. В случае переменного тока, когда направление движения зарядов часто изменяет свое направление, ток изменяет знак с течением времени как алгебраическая величина.

Комплексный ток – это комплексное число, поставленное в соответствие синусоидальному току. Если изменить направление вычисления тока (не влияя никаким образом на происходящий в цепи процесс), то математическое выражение для тока изменит знак. Изменение знака синусоидального тока равносильно изменению его начальной фазы на  или . Соответственно изменяется аргумент комплексного тока, соответствующего синусоидальному току. Так как , то изменение аргумента комплексного тока на  эквивалентно изменению знака перед комплексным числом. Таким образом, правило знаков работает одинаково для постоянных, переменных и комплексных токов.

55. Второй закон Кирхгофа для цепей постоянного тока:

алгебраическая сумма напряжений на всех элементах любого контура в электрической цепи равна нулю;

для цепей переменного тока:

алгебраическая сумма напряжений на всех элементах любого контура в электрической цепи в любой момент времени равна нулю;

для цепей переменного синусоидального тока в комплексной форме:

алгебраическая сумма комплексных напряжений на всех элементах любого контура в электрической цепи переменного синусоидального тока равна нулю.

Замкнутый контур, к которому применяется второй закон Кирхгофа, может быть образован ветвями электрической цепи, а может быть замкнут мысленно (по воздуху). В последнем случае можно считать, что между электрическими зажимами, между которыми проведена воображаемая линия, включен идеальный вольтметр. Так искусственно получается замкнутый контур.

Вторая (универсальная) формулировка отличается от первой наличием слов “в любой момент времени”. Третья формулировка отличается от первой словами “комплексных” и “переменного синусоидального тока”. Три формулировки имеют разные области применения, которые уже отмечены выше.

В электрических цепях идеальные источники тока встречаются редко, а напряжение на источнике ЭДС равно его ЭДС (если направления ЭДС и напряжения противоположны, как на рис. 1.6), поэтому второй закон Кирхгофа обычно применяется в эквивалентной формулировке. 1. В цепи постоянного тока алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах цепи в любом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре. 2. В любой цепи переменного тока алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах цепи в любом контуре в любой момент времени равна алгебраической сумме ЭДС в том же контуре в тот же момент времени. 3. В цепи переменного синусоидального тока алгебраическая сумма комплексных напряжений на пассивных элементах цепи в любом контуре равна алгебраической сумме комплексных ЭДС в том же контуре.

Напряжения и ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура, записываются в уравнения второго закона Кирхгофа с плюсом, а напряжения и ЭДС, направления которых противоположны направлению обхода контура, - с минусом, при этом напряжения записываются в левой, а ЭДС – в правой части равенства.

Как правило, направление напряжения на пассивных двухполюсниках выбирают по направлению тока, а направление напряжения на активных двухполюсниках – навстречу току.

В принципе, направление напряжения – это направление оси координат, на которую проектируются электрические силы, вызывающие движение зарядов или влияющие на это движение. Если направление силы (точнее вектора силы) совпадают с направлением оси координат, сила совершает положительную работу и электрическое напряжение положительно. Если направление силы противоположно направлению оси координат, проекция силы на ось отрицательна, сила совершает отрицательную работу, и напряжение отрицательно. Выбор осей координат для определения знаков напряжений (то есть направлений напряжений) выполняется одинаковым образом для постоянных и переменных напряжений. В выбранной системе координат можно наблюдать любое напряжение. Поэтому правило знаков формулируется одинаковым образом для любых напряжений.

Если принять, что стрелка, указывающая направление напряжения, направлена от положительного полюса (зажима) к отрицательному (от плюса к минусу, если говорить коротко), то указание направления напряжения равносильно указанию полярности зажимов двухполюсника. Понятие полярности зажимов (или полярности напряжения на зажимах) удобно использовать в цепях постоянного тока. В цепях переменного тока полярность зажимов (в их традиционном понимании) изменяется с частотой напряжения (100 раз в секунду при частоте 50 Гц). Если понятие полярности используется в цепях переменного тока, то нужно оговорить условия его применения (такое иногда встречается в технической литературе).

56. Основную задачу теории электрических цепей можно сформулировать следующим образом: дано – схема замещения электрической цепи и параметры ее элементов, определить – токи в ветвях цепи.

Решение этой задачи целесообразно начать с определения числа ветвей в цепи и выбора направлений токов в них, число ветвей равно числу искомых токов и равно числу уравнений в системе уравнений Кирхгофа. Для всех узлов за исключением одного нужно составить уравнения по первому закону Кирхгофа. Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирхгофа, предварительно нужно выбрать систему независимых контуров и выбрать направления их обхода (например, по часовой стрелке). Процедура построения системы независимых контуров описана в И 1.54. Для исключения неизвестных напряжений из системы уравнений Кирхгофа в цепях постоянного или переменного синусоидального тока используется закон Ома, напряжения выражаются через токи и параметры элементов цепи.

Система уравнений Кирхгофа, составленная для линейной цепи постоянного или переменного синусоидального тока, - это система линейных алгебраических уравнений. Разделяя действительные и мнимые части коэффициентов и переменных в каждом комплексном уравнении, можно преобразовать его в два действительных уравнения. Решение действительных и комплексных линейных алгебраических уравнений относится к одному классу математических задач.

Расчет цепей переменного синусоидального тока аналогичен расчету цепей постоянного тока потому, что схемы замещения и тех, и других цепей отличаются только обозначениями сопротивлений, токов и напряжений (  или ), уравнения Кирхгофа для обоих видов цепей отличаются только обозначениями коэффициентов и переменных, и решение систем уравнений Кирхгофа в обоих случаях относится к одному и тому же классу математических задач.

Решение системы уравнений Кирхгофа для цепей переменного тока (например, при расчете переходных процессов) связано с интегрированием (решением) дифференциальных уравнений. Мгновенное напряжение пропорционально мгновенному току только на резисторе. Напряжение на идеальной катушке пропорционально скорости изменения тока (). Приращение напряжения на конденсаторе пропорционально интегралу от протекающего через него тока,

.

При наличии в цепи катушек взаимной индуктивности в уравнениях второго закона Кирхгофа появляются напряжения взаимной индукции ().

57. Если известен один из токов, то число искомых токов уменьшается на единицу. Число уравнений в системе Кирхгофа превышает число неизвестных. Число неизвестных может быть увеличено на единицу, например, можно определить ЭДС или сопротивление одного из резисторов, при которых указанный ток принимает заданное значение. По сравнению с основной задачей теории цепей некоторые известные и неизвестные величины меняются ролями, алгоритм решения задачи практически не изменяется.

58. Если выполняются соглашения о направлениях токов и напряжений на пассивных и активных элементах цепи (И 1.25, И 1.26), то баланс мощностей можно сформулировать следующим образом:

для цепей постоянного тока

сумма мощностей, потребляемых резисторами, равна сумме мощностей источников;

для цепей переменного синусоидального тока без катушек взаимной индуктивности

сумма комплексных мощностей комплексных сопротивлений равна сумме комплексных мощностей источников.

Знаки перед всеми слагаемыми в левой и правой частях баланса одинаковы (плюсы). Нет необходимости в правиле знаков для мощностей. Если соглашения о направлениях токов и напряжений нарушаются, необходимо сформулировать правило знаков для мощностей.

Вторая формулировка отличается от первой по существу только добавлением к существительному “мощность” определения “комплексный”. Соответствующие уравнения баланса мощностей имеют вид

,

.

При вычислении комплексной мощности используется сопряженная величина комплексного тока (И 4.30).

Баланс комплексных мощностей равносилен двум равенствам: балансу активных мощностей и балансу реактивных мощностей. Достаточно разделить действительные и мнимые части в балансе комплексных мощностей, чтобы получить балансы активных и реактивных мощностей.

Мощность источника в цепях постоянного тока или активная мощность источника в цепях переменного тока является алгебраической величиной. Она принимает положительные значения, когда источник отдает энергию в цепь, или отрицательные значения, когда источник запасает электрическую энергию (например, аккумулятор при зарядке). Реактивная мощность в цепях переменного синусоидального тока характеризует процессы периодического обмена энергией между различными частями цепи, в том числе между источниками и приемниками.

59. 1. Алгоритм расчета постоянных токов с помощью законов Кирхгофа (И 1.64) содержит семь позиций. Все они входят в алгоритм расчета комплексных токов в цепях переменного синусоидального тока. Первые три позиции, связанные с определением числа уравнений и структуры системы уравнений повторяются в обоих алгоритмах дословно. Следующие три позиции, связанные с записью уравнений, практически одинаковы в обоих алгоритмах. Различие в записи уравнений вызвано только различными обозначениями переменных и параметров задачи (  или ). Существенные различия возникают в седьмой позиции алгоритма, когда начинается решение системы уравнений Кирхгофа.

При расчете постоянных токов значения параметров (сопротивлений и ЭДС) прямо подставляются в уравнения. При расчете комплексных токов сначала нужно найти комплексные сопротивления ветвей по заданным активным сопротивлениям, индуктивностям, емкостям и частоте ЭДС, а также комплексные ЭДС, соответствующие заданным синусоидальным ЭДС. Найденные комплексные параметры подставляются в уравнения.

Решение комплексных уравнений существенно сложнее, чем решение действительных уравнений. Либо приходится разделять действительные и мнимые части комплексных уравнений, чтобы получить действительные уравнения (обычно это связано с громоздкими преобразованиями), либо многократно умножать и делить комплексные числа (а это довольно трудоемкие алгебраические операции). Затруднения исчезают лишь при использовании компьютера с системой программирования, позволяющей работать с комплексными величинами.

Расчет переменных синусоидальных токов обычно не заканчивается определением комплексных токов. Часто требуется определить действующие значения токов или синусоидальные токи, соответствующие найденным комплексным токам.

2. Алгоритм расчета постоянных токов методом наложения (И 2.14) полностью реализуется при расчете комплексных токов. Расчет комплексных токов, вызванных каждым источником в отдельности, выполняется символическим методом. Комплексный ток в любой ветви равен сумме комплексных токов, вызванных в этой ветви отдельными источниками.

3. Теорему об эквивалентном генераторе для цепей постоянного тока (И 2.39) легко переформулировать для цепей переменного синусоидального тока; достаточно ввести в теорему комплексную ЭДС эквивалентного генератора, равную комплексному напряжению холостого хода активного двухполюсника, и комплексное сопротивление генератора, равное входному комплексному сопротивлению двухполюсника. Рекомендация по практическому применению теоремы об эквивалентном генераторе (И 2.40) одинакова для цепей постоянного и переменного тока.

Алгоритм (И 2.41), предназначенный для расчета тока в одной из ветвей цепи методом эквивалентного генератора, распространяется на цепи переменного синусоидального тока при условии, что расчет комплексного сопротивления активного двухполюсника и комплексного тока нагрузки выполняется символическим методом.

4. Условия эквивалентности пассивных двухполюсников для цепей постоянного тока (И 2.34) и цепей переменного синусоидального тока практически одинаковы. Два линейных пассивных двухполюсника в цепях переменного синусоидального тока эквивалентны, если их входные комплексные сопротивления равны.

Применительно к цепям синусоидального тока условие эквивалентности активных двухполюсников (И 2.33) требует дополнительных пояснений. Внешняя характеристика активного двухполюсника в цепях синусоидального тока в комплексной форме записывается по аналогии с (И 2.35):

,

где  - комплексное напряжение холостого хода,  - входное комплексное сопротивление двухполюсника. По аналогии с (И 2.33) можно утверждать, что активные двухполюсники в цепях переменного синусоидального тока эквивалентны, если совпадают их внешние комплексные характеристики . Для совпадения внешних характеристик двух двухполюсников достаточно равенства коэффициентов  и  в их характеристиках.

5. В пределе при  индуктивные сопротивления обращаются в нуль, емкостные сопротивления неограниченно возрастают. Идеальная катушка эквивалентна проводу с нулевым сопротивлением, конденсатор эквивалентен разрыву. Именно по этому правилу схемы замещения цепей переменного тока преобразуются в схемы замещения цепей постоянного тока (см. комментарий к определениям И 1.1, И 1.2). В уравнениях, составленных по второму закону Кирхгофа, напряжения на идеальных катушках нужно приравнять к нулю, напряжения на конденсаторах не выражаются через их токи. Уравнения, содержащие напряжения на конденсаторах, можно исключить из системы уравнений Кирхгофа (напряжения на конденсаторах – лишние неизвестные). После этих преобразований из системы уравнений для цепи переменного тока получается система уравнений для цепи постоянного тока.

В цепи, показанной на рис. 10.29, после исключения реактивных элементов по приведенным выше правилам остаются два последовательно включенных резистора. В системе уравнений Кирхгофа для цепи постоянного тока остается одно уравнение вместо трех для цепи переменного тока. В двухполюсниках, показанных на рис. 10.31 и 10.41, сохраняется один резистор .

60. Добавление баланса мощностей к системе уравнений Кирхгофа не позволяет увеличивать число неизвестных в задаче. Баланс мощностей является одним из следствий системы уравнений Кирхгофа. Например, уравнение второго закона Кирхгофа для одноконтурной цепи, умноженное на ток, протекающий в контуре, дает баланс мощностей.

Строго говоря, система уравнений Кирхгофа и баланс мощностей являются эквивалентными математическими описаниями электрической цепи. Из системы уравнений Кирхгофа можно вывести баланс мощностей, а из баланса мощностей можно получить систему уравнений Кирхгофа. Например, разделив баланс мощностей для одноконтурной цепи на ток, можно получить уравнение второго закона Кирхгофа.

61. На рис. 13.1 показана принципиальная векторная диаграмма для цепи, изображенной на рис. 11.1.

Рис. 13.1

 

По показанию ваттметра определяется угол , по показаниям амперметров - три стороны и углы треугольника токов. По показаниям вольтметра и амперметров  и  определяются полные сопротивления катушек, а с помощью векторной диаграммы - начальные фазы токов  и  и коэффициенты мощности катушек. После этого можно определить активные и индуктивные сопротивления катушек.

Анализ условия задачи можно выполнить другим способом. В задаче семь неизвестных: параметры , , ,  и начальные фазы токов , ,  (начальную фазу напряжения можно задать произвольно). Три уравнения Кирхгофа для комплексных токов дают шесть действительных уравнений. Выражение для мощности  дает еще одно необходимое уравнение. Итак, семь неизвестных – семь уравнений. Если мощность не измерена, задача не разрешима.

62. Неизвестны четыре параметра катушек , , ,  и начальные фазы напряжений , , . Начальную фазу тока можно принять равной нулю. Три уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, , ,  дают только шесть действительных уравнений. Задача неразрешима.

63. ,

; , если

.

64. Уравнения цепи, показанной на рис. 11.4, можно записать в виде

,

,

.

После элементарных алгебраических преобразований они принимают вид

,

,

.

Этим уравнениям соответствует схема замещения, приведенная на рис. 13.2.

Рис. 13.2

 

Входное комплексное сопротивление этого двухполюсника равно

.

65. Уравнения трансформатора по рис. 5.12 имеют вид

,

,

где . После изменения в разметке однополярных зажимов они принимают вид

,

,

где , так как изменение однополярного зажима на одной из катушек сопровождается изменением знака взаимной индуктивности. После подстановки численных значений параметров обе системы уравнений оказываются совершенно одинаковыми и имеют одинаковое решение.