Уравнения равновесия для сил

Пример решения задачи на определение реакций опор балки

Условие задачи.

Жесткая балка, линейные размеры которой указаны на рисунке 1, закреплена в точках А и В. На балку действуют пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и две силы P и G, место приложения которых показано на рисунке.
Определить реакции опор балки в точках A и В, вызываемые указанными нагрузками.

Дано:
P = 20,2 Н; G = 22,6 Н; q = 2 Н/м; M = 42,8 Н·м; a = 1,3 м; b = 3,9 м; α = 45°;

Решение задачи

Проводим оси x и y системы координат. Начало системы координат поместим в точку A. Ось x направим горизонтально, вдоль балки. Ось y – вертикально. Ось z перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас. На рисунке она не указана.

Силы, действующие на балку.

Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.

В шарнире A, разложим силу реакции Ra на составляющие Xa и Ya вдоль осей координат.
Реакция Rb, в подвижной опоре на катках, направлена вертикально. Предполагаемые направления реакций опор выбираем по своему усмотрению, наугад. Если ошибемся с направлением реакции, то получим отрицательное значение, что будет говорить о том, что соответствующая сила реакции направлена в противоположную сторону.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей Q. Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:

Q= q *| AD|= q * b=2*3,9=7,8H

Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в точке C – посередине отрезка AD:
AC = CD = b/2 = 1,95 м.

Уравнения равновесия для сил

Определяем проекции сил на оси координат.

Разложим силу P на составляющие вдоль координатных осей:
P=P1+P2.
Абсолютные значения составляющих:P1=Pcos α   P2=Psin α.
Вектор P1 параллелен оси x и направлен в противоположную от нее сторону. Вектор P2 параллелен оси y и также направлен в противоположную сторону. Поэтому проекции силы P на оси координат имеют следующие значения:
Px= - P1= - Pcos α    Py= - P2= - Psin α.

Остальные силы параллельны осям координат. Поэтому они имеют следующие проекции:
Gx=0  Gy= -G
Qx=0; Qy= - Q
Xax=Xa; Xay=0
Yax=0;  Yay=Ya
Rbx=0. Rby=Rb

Составляем уравнения равновесия для сил.
Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю:
;
Xax+Yax+ Rbx+ P1x+ P2x+ Gx+ Qx=0
Xa+0+ 0 - Pcos α + 0+ 0+ 0=0;
(П1) Xa- Pcos α =0.

Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
;

Xay+Yay+ Rby+ P1y+ P2y+ Gy+ Qy=0
0+Ya+ Rb+0 – Psin- Gy- Qy =0;
(П2) Ya+Rb-Psin α-G-Q=0.