Геометрический смысл производной

Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке.

Касательная к графику функции

Проведем секущую графика функции y = f (x), проходящую через точки A и B этого графика, и рассмотрим случай, когда точка A неподвижна, а точка B неограниченно приближается к точке A по графику функции y = f (x) (рис. 2).

Рис.2

Неограниченное приближение точки B к точке A принято обозначать B → A и произносить «B стремится к A».

Заметим, что, если B → A для точек A = (x ₀; f (x ₀)) и B = (x ₁; f (x ₁)) графика функции y = f (x), то это означает, что x ₁ → x ₀.

Определение 2. Если при x ₁ → x ₀ существует предельное положение секущей графика фукнкции y = f (x), то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x ₀; f (x ₀)) (рис. 3).

Рис.3

Геометрический смысл производной

Рассмотрим сначала возрастающую функцию y = f (x) и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки A = (x ₀; f (x ₀)) и B = (x ₁; f (x ₁)) (рис. 4).

Рис.4

Обозначим буквой φ угол, образованный секущей и положительным направлением оси Ox, отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол BAD в треугольнике ABD на рисунке 4 равен φ, и по определению тангенса угла получаем равенство

(8)

причем по определению углового коэффициента прямой tg φ является угловым коэффициентом секущей графика функции y = f (x), проходящей через точки A = (x ₀; f (x ₀)) и B = (x ₁; f (x ₁)) этого графика.

Случай, когда функция y = f (x) убывает, изображен на рисунке 5

Рис.5

В этом случае угол φ является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция y = f (x) убывает.

Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой α обозначен угол, образованный касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x ₀; f (x ₀)) с положительным направлением оси Ox (рис. 6).

Рис.6

Таким образом, если у функции y = f (x) в точке x ₀ существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f (x) в точке (x ₀; f (x ₀)):

f′ (x ₀) = tg α,

где угол наклона α образован касательной и положительным направлением оси Ox и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).