Практическое занятие № 4

Содержание практического занятия по дисциплине: 

Математика «Алгебра и начала математического анализа»

Раздел: Векторы

Тема:   Скалярное произведение векторов

Название темы по программе: Координаты и векторы

Практическое занятие № 47

 Тема:   Скалярное произведение векторов

Цель занятия: изучение свойств скалярного произведения векторов и его применения в доказательствах и в решении типовых задач

Дидактическое оснащение практического занятия:

Опорный конспект по теме Скалярное произведение векторов

Задания

Задание№1. 

a) (Эталон решения задания)  Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: Если даны координаты векторов, то число, которое является скалярным произведением векторов, определяется следующим образом:

{ x_a; y_a; z_a } b { x_b; y_b; z_b }

a ⃗ ⋅ b ⃗ = x_a ⋅ x_b + y_a ⋅ y_b + z_a ⋅ z _b=

= {1; 2} и  = {4; 8}.

a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20

Ответ: 20

Решить задание

b) Найти скалярное произведение векторов a ⃗ {4;−6;4} и b ⃗ {7;2;−8}.

Задание №2

a) (Эталон решения задания)   Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Ответ:9

b) Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 10, |b| = 8, а угол между векторами равен 150˚.

Задание №3

a) (Эталон решения задания)  Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

= 5 |a|² + 12 a · b - 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45.

Ответ:45

b) Найти скалярное произведение векторов p = 2a + b и q = 3a - b, если их длины |a| = 2, |b| = 3, а угол между векторами a и b равен 30˚.

Задание №4

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Задание №5

a) (Эталон решения задания)  Даны векторы a ⃗ (−8;8;−4) и b ⃗ (1; x;−2).

Найди значение x, если a ⃗ b ⃗ =8.

Решение

 ·  = x_a ⋅ x_b + y_a ⋅ y_b + z_a ⋅ z _b

Т.к a ⃗ b ⃗ =8. То 8=(-8) 1+8x+ (-4)(-2)

8=-8+8x+8

8x=8

x=1

Ответ: 1

b) Даны векторы a ⃗ (−8;4;−5) и b ⃗ (3; x;−4).

Найди значение x, если a ⃗ b ⃗ =0.

Содержание отчета

1. Подробно записать условие и шаги решения задания- образца, а также, используемые для решения формулы.

2. Ответь на вопросы практического задания и запиши ответы в свой отчет.

 

Контрольные вопросы

1. Является ли скалярное произведение двух векторов числом или вектором?

2. Если заданы координаты векторов, и угол между ними, то по какой формуле можно найти их произведение?

3. В каком случае скалярное произведение будет положительным числом?

4. В каком случае скалярное произведение будет отрицательным числом?

5. В каком случае скалярное произведение векторов равно нулю?