Основные теоретические сведения и расчетные формулы

При сжатии гибкого стержня осевой силой возможна потеря его устойчивости, при которой ось стержня искривляется и начальная прямолинейная форма равновесия нарушается. Минимальная сжимающая сила, превышение которой вызывает потерю устойчивости, называется критической силой.

При расчетах сжатых стержней на устойчивость встречаются следующие основные задачи:

1. Вычисление величины критической силы;

2. Определение допускаемого значения сжимающей силы;

3. Подбор сечения стержня по условию его устойчивости;

4. Определение запаса устойчивости стержня.

Величина критической силы вычисляется по формуле Эйлера или Ясинского в зависимости от гибкости рассматриваемого стержня.

Под гибкостью стержня понимается безразмерная величина, вычисляемая по формуле

(11.1)

где

l - длина стержня;

i_min - минимальный радиус инерции поперечного сечения;

μ - коэффициент, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Его значения для наиболее распространенных способов закрепления приведены в табл.16.

Формула Эйлера применима при условии, что критическое напряжение, равное , не превышает предела пропорциональности материала стержня. Обычно это условие выражается формулой

(11.2)

где

- предельная гибкость стержня.

Для каждого материала определяется по выражению

(11.3)

где

Е - модуль упругости материала;

σ _пц - предел пропорциональности материала стержня.

Например,для стали марки Ст.3 при E = 2*10⁵МПа, σ _пц = 200 МПа и предельная гибкость = 100.

Если расчетная гибкость стержня больше или равна предельной, то для вычисления критической силы применяется формула Эйлера:

(11.4)

если гибкость меньше предельной, то для вычисления критической силы используется эмпирическая формула, предложенная Ясинским:

(11.5)

(для стали Ст3 ).

Наряду с расчетами по формуле Эйлера или Ясинского при расчетах сжатых стержней на устойчивость широко применяется метод, в котором условие устойчивости сжатого стержня записывается в следующем виде:

[ σ ] _у = φ [ σ ] _с, (11.6)

где

N - сжимающая сила;

А - площадь поперечного сечения стержня;

[ σ ] _у - допускаемое напряжение при расчете стержня на устойчивость;

[ σ ] _с - допускаемое напряжение материала стержня при сжатии;

φ - коэффициент снижения допускаемого напряжения.

Величина коэффициента j зависит от гибкости стержня l и материала, из которого он изготовлен. Для малоуглеродистой стали (Ст.3) его можно определить по табл.17.

Таблица 1 – Коэффициенты приведения длины μ в зависимости от способа закрепления концов cтержня

Схема закрепления
Коэффициент μ	2	1	0,7	0,5

Таблица 2 – Величины коэффициентов φ для стали Ст. 3 в зависимости от гибкости λ

λ	φ	λ	φ	λ	φ
0 10 20 30 40 50 60	1,00 0,99 0,96 0,94 0,92 0,89 0,86	70 80 90 100 110 120 130	0,81 0,75 0,69 0,60 0,52 0,45 0,40	140 150 160 170 180 190 200	0,36 0,32 0,29 0,26 0,23 0,21 0,199

Условие устойчивости позволяет найти допускаемое значение сжимающей силы:

Поскольку условие устойчивости включает в себя два параметра Р и φ, зависящие друг от друга, при подборе сечения стержня следует использовать способ проб, заключающийся в том, что задаются значением одного из параметров, например φ, определяют из условия устойчивости площадь сечения, а затем проверяют, удовлетворяется ли условие

Если условие удовлетворяется, то расчет на этом заканчивается, если нет, то задаются новым значением φ * и аналогичный расчет повторяется до тех пор, пока условие устойчивости не будет удовлетворено.

Запас устойчивости n_у сжатого стержня

показывает, во сколько раз критическая сила больше заданной или допускаемой.

Для стального стержня длиной l, сжимаемого силой Р, требуется:

3. подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия его устойчивости при допускаемом напряжении на сжатие [ σ ] = 160 МПа (расчет проводить методом последовательных приближений по коэффициенту снижения допускаемых напряжений на сжатие);

4. найти величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости n_у.

Сила P, кН	Длина стержня 1, м
350	3,2
320	3,1
300	3,3
310	3,4
330	3,5
340	3,0
360	3,6
370	3,7
380	3,8
390	3,9
400	4,0

Задача 1.

Подобрать равноустойчивое сечение из 4-х равнополочных уголков из условия устойчивости. Определить величину критической силы для этого сечения и коэффициент запаса устойчивости. F = 350 кн, h = 4.2м, R = 240 МПа, γ _с= 1; λ _пред.= 100.

• условие устойчивости: σ = ≤ γ _с R ∙ φ; A= ; R = 240 МПа = 24 ;

• Первая попытка: принимаем φ ₁ = 0.7; A = = 20.83 см²;

Выбираем 4 уголка ∟56×5; A = 5.41 ∙ 4 = 21.64 см²;

Проверяем устойчивость: λ = ; µ = 1.0; l = 420 см; I^табл = 16 см⁴; А^табл_. = 5.41см²; z ₀ = 5.41см;

Сечение равноустойчиво, поэтому: I_min = I_max = I = 4(I^табл_.+ а_i ² ∙ А_i);

i _min= = i _max = i; а = 5.6 – 1.57 = 4.03 см; I = 4(16 + 4.03² ∙ 5.41) = 415.45 см⁴; i = = 4.38см; λ = = 95.9;

из таблицы приложения 4 находим: φ = 0.612 - 5.9 = 0.571;

σ = = 28.32 > 24 ;

• Делаем вторую попытку: φ₂= = 0.64; A = = 22.8 см²;

Выбираем 4 уголка ∟63×5; A = 6.13 ∙4 = 24.52 см²; Проверяем устойчивость:

z₀ = 6.13см; А^табл. = 6.13см²; I^табл = 23.1см⁴; а = 6.3 – 1.74 = 4.56 см;

I = 4(23.1 + 4.56² ∙ 6.13) = 602.26см⁴; i = = 4.96см;

λ = = 84.69; φ = 0.686 - ∙4.69 = 0.65;

σ = = 21.96 < 24 ;

• Вывод: выбираем ∟63×5;

• Определяем величину критической силы: λ = 84.69 < λ _пред.; (λ _пред.= 100);

F _кр.определяем по формуле Ф.С.Ясинского: σ_кр. = а – в ∙ λ - с ∙ λ²;

для стали: а = 31 ; в = 0.114 ; σ_кр. = 31 – 0.114 ∙ 84.68 = 21.35 ;

σ_кр. = ; F _кр= σ_кр ∙ А = 21.35 ∙ 24.52 = 523.4 кн;

коэффициент запаса устойчивости: к _уст.= = = 1.5.

Задача 2.

Подобрать сечение чугунной трубы из условия устойчивости. Определить величину критической силы для этого сечения и коэффициент запаса устойчивости. F = 250 кн, h = 3.2 м, Е = 1 ∙ 10⁵МПа, R = 200 МПа, γ _с= 1; λ _пред.= 80.

• условие устойчивости: σ = ≤ γ _с R ∙ φ; A= ; R = 200 МПа = 20 ;

• Первая попытка: принимаем φ ₁ = 0.7; A= = 17.86 см²; d = 0.8 D;

A = = (D² – (0.8 D)²) = 0.2824 D² = 17.86см²; D = 7.95см; принимаем D = 8 см; d = 6.4см;

Проверяем устойчивость: λ = ; µ = 0.7; l = 320 см;

cечение равноустойчиво, поэтому

I _min = I_max = I = = (8⁴- 6.4⁴) = 118.65см⁴;

A = (8² – 6.4²) = 18.1 см²; i = = = 2.56см;

λ = = 87.5; φ = 0.686 - 7.5 = 0.63;

σ = = 21.92 > 20 ;

• Делаем вторую попытку: φ₂= = 0.68; A = = 18.38 см²;

A = (D² – (0.8 D)²) = 0.2824 D² = 18.38см²= 0.2824 D²;

принимаем D = 8.2см; d = 6.6см; A= = 18.6 см²;

I = = (8.2⁴- 6.6⁴) = 128.72см⁴;

i = = = 2.63см; λ = = 85.17;

φ = 0.686 - 5.17 = 0.65; σ = = 20.67 > 20 ;

% перегрузки: 100% = 3.35% < 5%, что допустимо.

Следовательно, принимаем окончательно D = 8.2см; d = 6.6см;

• Определяем величину критической силы: λ _пред.= 80; λ = 85.17 > 80;

F _кр.определяем по формуле Л.Эйлера

F _кр= = = 252.94 кн

коэффициент запаса устойчивости: к _уст.= = = 1.01< 1.5

поэтому размеры поперечного сечения следует пересмотреть, что не входит в данное задание.

Практическое занятие №11. Расчеты балок на прочность при прямом изгибе.

Задание: Определить усилия и напряжения в балке. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Определить «опасные сечения» и «опасные точки» в сечениях из условия прочности по нормальным, касательным и эквивалентным напряжениям. Подобрать сечение двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям.

Проверить прочность по касательным и эквивалентным напряжениям. Принять значения расчётного сопротивления материала на растяжение и сжатие R = 240МПа, расчётного сопротивления материала на сдвиг R = 130МПа, коэффициента условий работы γ_с = 1. Исходные данные к задаче определить по таблице №3 и схемам, представленным на рис.3.

Таблица

Первая цифра шифра	F₁ кн	F₂ кн	Вторая цифра шифра	q₁	q₂	а м	Третья цифра шифра № схемы	b м	c м
0	100	0	0	0	30	1	0	2	4
1	0	100	1	40	0	0.6	1	1	5
2	120	0	2	0	20	1	2	3	2
3	0	120	3	50	0	0.8	3	4	2
4	200	0	4	0	40	1	4	5	1
5	0	200	5	20	0	0.4	5	2	3
6	60	0	6	0	50	1	6	4	1
7	0	60	7	30	0	0.6	7	5	1
8	150	0	8	0	60	1	8	3	2
9	0	150	9	20	0	0.4	9	2	4

Рис. 5.1. Схемы заданий задаче № 5.1, РГР № 5.

Последовательность расчёта:

1. Изобразить в масштабе расчётную схему с указанием размеров и нагрузки.

2. Определить опорные реакции.

3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

4. Определить «опасное сечение» и «опасную точку» в сечении из условия прочности по нормальным напряжениям. Определить максимальный момент.

5. Определить осевой момент сопротивления. Подобрать сечение двутавра.

6. Определить «опасное сечение» и «опасную точку» в сечении из условия прочности по касательным напряжениям. Определить максимальную поперечную силу и проверить прочность по касательным напряжениям. Сравнить касательные напряжения с расчётным сопротивлением материала на сдвиг.

7. Вычислить нормальные и касательные напряжения в «опасной точке опасного сечения». Определить величину эквивалентных напряжений. Сравнить её с расчётным сопротивлением.

Задача

Дано: Р=8кН; q=10кН/м; а₃/а=5; l₁=10a=1,8м

Решение

Схема1.a

Рис.1.1 Расчетная схема

1 Разбиваем брус на участки и определяем значения поперечных сил и изгибающих моментов на каждом участке

Определяем длины участков: l₁=10a; a= l₁/10=1.8/10=0.18м

а₃/а=5; а₃=5а=5∙а=5∙0,18=0,9м

1 участок 0<X₁<0,9м

Q_y₁= Р=8кН

M_x₁=Р×X₁

X₁=0 M_x₁= 0,

X₁=0,9м M_x₁= 8×0,9= 7,2 kHм,

2 участок 0,9<Х₂<1,8м

Q_y₂=Р−q××(x₂−0,9)

X₂=0,9м

Q_y_,2=8− 10∙(0,9−0,9)=8 kH;

x₂=1,8м

Q_y₂=8− 10∙(1,8−0,9)=−1 kH,

так как эпюра поперечных сил на данном участке меняет знак, эпюра моментов в точке, где поперечная сила равна нулю, будет иметь экстремум. Определяем точку экстремума

Q_y₂=Р− q××(x_к−0,9)=0

x_к=(Р+ q∙0,9)/ q=(8+ 10∙0,9)/10=1,7м

M_x₂= Р×x₂−q×(x₂-0,9)²/2

X₂=0,9м M_x₂= 8××0,9 −10×(0,9-0,9)²/2= 7,2kHм,

X₂=1,8м M_x₂= 8××1,8 −10×(1,8-0,9)²/2= 8,91kHм,;

X_к=1,7м M_x_2к= 8××1,7 − 10×(1,7-0,9)²/2= 9,04 kHм,;

Cтроим эпюры моментов и поперечных сил.

Из условия прочности подбираем размер круглой деревянной балки

σ≤