Понятие многогранника

Математика

Преподаватель Таранина Е.И

 

lentar1959@mail.ru

Задание для I курса

 Группы 11 – ТОР, 12 – ТОР, 12 – ТОД

Выполнить в срок до 28 марта 2020

Выполненную работу отправьте по email lentar1959@mail.ru

в виде файла MS WORD.

Для этого создайте новый документ MS Word. Оформите решения в виде формул (вкладка ВСТАВКА –> )

 

Или оформите решения в тетради в вышлите фото на email преподавателя.

Работа должна быть выполнена до 28 марта.

Не забудьте указать свои Фамилию Имя и группу!

Задания здесь: https://vk.com/id36241308

 Ознакомьтесь с примерами решений задач и выполните задания

Понятие многогранника

1) Вводятся элементы многогранников: грани, ребра, вершины, диагонали граней, диагонали многогранника (в соответствии с п. 25). Вопрос: из чего состоит поверхность многогранника? (Ответ: из многоугольников.)

Вывод: многоугольники - это грани.

Вопрос: что такое многоугольник? (Ответ: это плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямоугольных отрезков.)

Вывод: прямолинейные отрезки - это ребра, а концы ребер - это вершины.

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины одной грани, называется диагональю грани, а отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, - это диагональ многогранника.

2) В школе изучаются многогранники, Эйлерова характеристика которых равна 2, то есть В - Р + Г, где В - число вершин, Р - число ребер, Г - число граней.

Для закрепления понятий элементов многогранников следует с учащимися заполнить таблицу уже известных многогранников.

 

№	Наименование многогранника	В	Р	Г	Эйлерова характеристика
1	Тетраэдр	4	6	4	4 – 6 + 4 = 2
2	Параллелепипед	8	12	6	8 - 12 + 6 = 2
3	Куб	8	12	6	8 - 12 + 6 = 2

3) Вводится понятие призма, что это тоже многогранник, а также ее элементов: высота призмы, боковые грани, боковые ребра (в соответствие с п. 27).

Раздать на парту модели пирамиды или призмы и дать возможность самостоятельно подсчитать Эйлерову характеристику.

Затем сделать вывод на основании вычислений, как подсчитать число вершин, ребер и граней для любой пирамиды и любой призмы и продолжить заполнение таблицы.

4	n - угольная пирамида	n + 1	2n	n + 1	n + 1 – 2n + n + 1 = 2
5	n - угольная призма	2n	3n	n + 2	2n – 3n + n + 2 = 2

Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году.

И оно верно для произвольного выпуклого многогранника. Наряду с ними существуют невыпуклые многогранники.

Дается определение в соответствие с п. 25 и рис. 67, 68, 69.

4) В любом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°.

Доказать это можно с помощью разверток, например, тетраэдр. Очевидно, что φ1 + φ2 + φ3 < 360°.

 

Параллелепипед (прямоугольный).

Вопрос: Сколько углов имеют общую вершину? (Ответ: три, причем все по 90°.)

Вывод: 90° + 90° + 90° = 270° < 360°.

Контрольные вопросы

1) Объясните, что такое: а) многогранник; б) поверхность многогранника.

2) Какой многогранник называется выпуклым?

3) Дан куб - выпуклый многогранник (проверьте). Как, имея пилу, получить из деревянного куба модель невыпуклого многогранника?

 

 

4) Дан выпуклый многогранник. Что называют а) его гранью; б) его ребром; в) его вершиной?

5) Назовите известные вам многогранники.

а) Выпуклым или не выпуклым является каждый из них? б) Сколько граней, ребер и вершин у каждого?

6) Дан квадрат. На нем как на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

В = 9; Г = 9; Р = 16; 9 - 16 + 9 = 2. Да.

7) Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

В = 5; Г = 6; Р = 9; 5 - 9 + 6 = 2. Да.

8) Сколько трехгранных, двугранных и плоских углов: а) у тетраэдра; б) у параллелепипеда.

 

Призма — многогранник, 2 грани это конгруэнтные (равные) многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы. Призма является разновидностью цилиндра. Элементы призмы.

 

 

Основания (ABCDE, KLMNP) – 2 грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, которые лежат в плоскостях, параллельных друг другу. Боковые грани (ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP) – каждая из граней, не считая оснований. Все боковые грани – это параллелограммы. Боковая поверхность – сумма боковых граней. Полная поверхность – сумма основания и боковой поверхности. Боковые ребра (AK, BL, CM, DN, EP) – общие стороны боковых граней.

 

Высота (KR) – отрезок, который соединяет плоскости, в них лежат основания призмы. Он перпендикулярен этим плоскостям. Диагональ (BP) – отрезок, который соединяет 2 вершины призмы, которые не принадлежат одной грани. Диагональная плоскость – плоскость, которая проходит через боковое ребро призмы, а также диагональ основания. Диагональное сечение (EBLP) – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении получается параллелограмм, либо — ромб, прямоугольник, квадрат. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной боковому ребру призмы. Свойства призмы.   Основания призмы – это равные многоугольники. Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма. Боковые ребра призмы параллельные и равны. Площадь полной поверхности призмы = сумме площади её боковой поверхности и двойной площади основания. Площадь боковой поверхности произвольной призмы: S=P*l, где P — периметр перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра. Площадь боковой поверхности прямой призмы: S=P*h, где P — периметр основания призмы, h — высота призмы. Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым рёбрам призмы. Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах. Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым граням. Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

 

Формула объема призмы:   V = Soh   где V - объем призмы, So - площадь основания призмы, h - высота призмы.

Геометрические тела.

Привальная четырехугольная пирамида. Свойства правильной четырехугольной призмы.   Основания правильной четырехугольной призмы – это 2 одинаковых квадрата; Верхнее и нижнее основания параллельны; Боковые грани имеют вид прямоугольников; Все боковые грани равны между собой; Боковые грани перпендикулярны основаниям; Боковые ребра параллельны между собой и равны; Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям; Углы перпендикулярного сечения - прямые; Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы является прямоугольником; Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям. Формулы для правильной четырехугольной призмы.   Виды призм. Призма, у которой в основании лежит параллелограмм, является параллелепипедом. Прямая призма — это призма, с перпендикулярными боковыми ребрами относительно плоскости основания. Остальные призмы являются наклонными. Правильная призма — прямая призма, в основании у нее лежит правильный многоугольник. Боковые грани такой призмы — одинаковые прямоугольники. Правильная призма, у которой боковые грани – квадраты (высота равна стороне основания), называется полуправильным многогранником.

Выполнить №220,223 Атанасян Л.С. Геометрия. 10-11 кл. М.: Просвещение, 2014 г.