Пример 3 Отыскание общего знаменателя

УРОК №5 Приведение дробей к общему знаменателю

Ранее изученный материал, используемый при изучении темы

Теоретический материал, изучаемый в теме

Применение изученной теории

§ Основное свойство обыкновенной дроби § Нахождение НОК нескольких натуральных чисел § Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю § Свойства степени § Разложение на множители

Понятия ü Приведение дробей к общему знаменателю ü Дополнительный множитель ü Простейший общий знаменатель

§ Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю

ПРОЧИТАТЬ

Стр. 154-156

КОНСПЕКТ разобрать примеры

РЕШИТЬ

I	II	III
451-454	451-457 (2,4)	451-458 (2,4)

При выполнении подписываем работы, проставляем дату, тему урока.

Прикрепить файл

ДЗ и СМ

Сделай сам

7 класс

АГЕБРА

Учусь дома. Учусь сам

Результат

Уметь приводить дроби к общему знаменателю

Разбираем вместе

Отыскание общего знаменателя и приведение дробей к общему знаменателю.

ПРИМЕР 1 Отыскание общего знаменателя

Для дробей и общий знаменатель есть число 15 — оно делится и на 3 и на 5, является их общим кратным (даже наименьшим общим кратным). НОК (3;5) = 15
ПРИМЕР 2 Отыскание общего знаменателя

Для дробей и общим знаменателем является одночлен . Он делится и на и на ,

т. е. на оба одночлена, служащие знаменателями дробей.

Обратите внимание: число 12 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 6.

Переменная входит в знаменатель первой дроби с показателем 2, в знаменатель второй дроби — с показателем 3. Это наибольшее значение показателя 3 фигурирует в общем знаменателе.

ПРИМЕР 3 Отыскание общего знаменателя

Для дробей и общим знаменателем служит произведение — оно делится и на знаменатель и на знаменатель.

· При отыскании общего знаменателя приходится, естественно, все заданные знаменатели разлагать на множители (если это не было подготовлено в условии). А далее следует провести работу по этапам: найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов (речь идет о целочисленных коэффициентах), определить для каждого несколько раз встречающегося буквенного множителя наибольший показатель степени, собрать все это в одно произведение.
Теперь можно оформить соответствующий алгоритм.

Алгоритм отыскания общего знаменателя для нескольких алгебраических дробей

·
Разложить все знаменатели на множители (числовые коэффициенты, степени переменных, двучлены, трехчлены).
Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в разложениях на множители, составленных на первом шаге.
Составить произведение, включив в него в качестве множителей все буквенные множители разложений, полученных на первом шаге алгоритма. Если некоторый множитель (степень переменной, двучлен, трехчлен) имеется в нескольких разложениях, то его следует взять с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся.
Приписать к произведению, полученному на третьем шаге, числовой коэффициент, найденный на втором шаге; в итоге получится общий знаменатель.

Замечание. На самом деле общих знаменателей для двух алгебраических дробей можно найти сколько угодно. Например, для дробей и общим знаменателем может быть и число 30, и число 60, и даже одночлен . Дело в том, что и 30, и 60, и можно разделить как на 3, так и на 5. Для дробей и общим знаменателем, кроме найденного выше одночлена , может быть и и . Чем же одночлен лучше, чем , чем ? Он проще (по виду). Его иногда называют даже не общим знаменателем, а наименьшим общим знаменателем. Таким образом, приведенный алгоритм — это алгоритм отыскания самого простого из общих знаменателей нескольких алгебраических дробей, алгоритм отыскания наименьшего общего знаменателя.

7 класс

АГЕБРА

Учусь дома. Учусь сам

Примеры приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

1. Чтобы найти общий знаменатель для чисел 15 и 9, выбираем большее число и проверяем, делится ли оно на меньшее. 15 на 9 не делится.

2. Умножаем 15 на 2 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 30 на 9 не делится. Умножаем 15 на 3 и проверяем, делится ли полученное число на 9. 45 на 9 делится, значит, общий знаменатель для чисел равен 45.

3. Наименьший общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени. Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 45 bc (буквы принято записывать в алфавитном порядке).

1. Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 45bc:(15b)=3c, 45bc:(9c)=5b. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:

4. Сначала ищем общий знаменатель для чисел: 8 на 6 не делится, 8∙2=16 на 6 не делится, 8∙3=24 на 6 делится. Каждую из переменных нужно включить в общий знаменатель один раз. Из степеней берем степень с большим показателем.

Таким образом, общий знаменатель данных дробей равен 24a³bc.

Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый: 24a³bc:(6a³c)=4b, 24a³bc:(8a²bc)=3a.

Дополнительный множитель умножаем на числитель и знаменатель:

Примеры приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.

Многочлены, стоящие в знаменателях данных дробей, нужно разложить на множители. В знаменателе первой дроби — полный квадрат разности: x²-18x+81=(x-9)²; в знаменателе второй — разность квадратов: x²-81=(x-9)(x+9):

Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, то есть равен

(x-9)²(x+9). Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель каждой дроби:

Многочлены, стоящие в знаменателях, раскладываем на множители. В знаменателе первой дроби выносим за скобки общий множитель x, из второй — 4:

Общий знаменатель состоит из всех множителей, взятых в наибольшей степени, а значит, равен 4x(x-5).

Находим дополнительные множители и умножаем их на числитель и знаменатель: Необходимость в приведении рациональных дробей к общему знаменателю в алгебре возникает при сложении и вычитании дробей. Как складывать и как вычитать дроби с разными знаменателями, рассмотрим в следующий раз.