Лабораторная работа №2
Введение в Фурье-оптику. Линза как оптический процессор
Теория вопроса
В ряде случаев когерентные оптические системы, состоящие из традиционных оптических элементов (линзы, зеркала, и т.д.), можно рассматривать как некие оптические процессоры, осуществляющие определённые математические преобразования, например, преобразование Фурье — преобразование по отношению к функции, определяющей распределение комплексной амплитуды на входе системы. Если для осуществления спектрального разложения функций времени в радиотехнике необходимы сложные резонансные устройства, то пространственные спектры в когерентной оптике получить очень просто. Эту операцию выполняют обычные линзы. Оказывается, что линзы не только могут формировать распределение амплитуд света, соответствующее геометрическому изображению, но и способны создавать Фурье-образ объекта.
Рассмотрим процедуру построения изображения объекта с помощью линзы. Одномерная функция пропускания линзы описывается выражением
(1)
Возьмём для простоты одномерный объект с функцией пропускания 
. Полагая, что амплитуда поля волны, падающей на объект, равна единице, на выходе получим распределение поля вида 
. На расстоянии 
от объекта расположим линзу и построим изображение объекта на произвольном расстоянии 
от линзы (рис. 1).
Сначала с помощью интеграла Френеля
записанного в одномерной форме, найдем амплитуду светового поля в произвольной точке плоскости на входе линзы:
. (3)
Умножив это выражение на одномерную функцию пропускания линзы, найдём амплитуду поля в той же точке на выходе линзы:
. (4)
Наконец, амплитуда поля в произвольной точке плоскости, расположенной на расстоянии справа от линзы, также описывается соответствующим интегралом Френеля:
Рис. 1. Схема построения изображения решётки, расположенной в плоскости  , с помощью линзы, помещённой в плоскости  . Справа от линзы на расстоянии  находится фокальная плоскость, на расстоянии  — плоскость изображения
|
. (5)
Подставив в (5) выражения для 
и 
, находим после преобразований
, (6)
где введены обозначения: 
, 
. Последний интеграл в (6) с учётом формулы
равен 
.
Рассмотрим два случая:
1) Найдём распределение амплитуды поля в задней фокальной плоскости линзы, где 
, т.е. 
Формула (6) здесь примет вид:
,
где 
. Отсюда следует, что (с точностью до фазового множителя, не влияющего на распределение интенсивности) в фокальной плоскости линзы формируется Фурье-образ функции пропускания объекта 
по переменной 
, которая в обычном приближении малых углов дифракции равна поперечной компоненте волнового вектора 
:
, (7)
где параметр 
играет роль пространственной частоты.
2) Найдём распределение амплитуды светового поля в плоскости, расстояние которой от линзы 
удовлетворяет соотношению:
, т.е. 
.
Последний интеграл в (6) можно теперь взять в конечных пределах по апертуре линзы, т. е. по отрезку 
:
. (8)
Учитывая, что длина волны мала, по сравнению с размером линзы, можно в этом выражении перейти к пределу
, (9)
и, подставив в интеграл (6), найти амплитуду светового поля:
. (10)
Формула (10) показывает, что распределение амплитуды в данной плоскости с точностью до фазового множителя совпадает с распределением амплитуды в плоскости объекта, задаваемым его функцией пропускания 
. Поэтому рассматриваемую плоскость естественно назвать плоскостью изображения объекта («перевёрнутого» вследствие знака «минус» в аргументе функции t), масштаб которого, как видно из (10), увеличился в 
раз. Описанную процедуру построения изображения объекта в виде дифракционной решётки иллюстрирует рис. 1.
Из формул (8), (9) также видно, что точка с координатой 
в плоскости объекта переводится линзой в точку с координатой 
в плоскости изображения только в случае линзы «бесконечно большой», по сравнению с длиной волны. Если же учитывать конечную апертуру линзы, то вместо точки мы получим в плоскости изображение распределения амплитуды светового поля, описываемое функцией 
, точнее, с учётом круговой формы апертуры, аналогичной формулой, куда вместо функции sin входит специальная функция — функция Бесселя первого порядка от радиальной координаты. При этом структура светового поля вполне аналогична описываемой функцией . Характерный угловой размер получившегося центрального светового пятна определяется формулой
и увеличивается с уменьшением диаметра линзы D. Следовательно, дифракция излучаемой объектом волны на конечной апертуре линзы приводит к «размазыванию» изображения объекта и ухудшению его качества.
Проведённое построение показывает, что формирование линзой изображения объекта, рассматриваемое как дифракционный процесс, можно разделить на два этапа. На первом этапе происходит разложение (анализ) светового поля объекта в Фурье-спектр, который формируется в задней фокальной плоскости линзы. На втором этапе последующее распространение световой волны приводит к восстановлению (синтезу) уже изображения объекта в плоскости изображения. Отсюда следует, что, во-первых, по виду спектра в фокальной плоскости линзы можно установить параметры собственно объекта, во-вторых, воздействуя на спектр объекта, можно управлять параметрами его синтезированного изображения. Помещая в фокальной плоскости линзы диафрагмы, экраны, фазовые объекты, можно осуществить преобразование углового спектра излучения, при котором можно выделить и усилить «полезные» частоты и погасить помехи.
Рассмотрим в качестве примера классический эксперимент Аббе-Портера по пространственной фильтрации, схема которого показана на рис. 2. Расположенная перед линзой сетка освещается параллельным пучком когерентного света. В задней фокальной плоскости линзы формируется двумерный Фурье-образ сетки — регулярно расположенные по вертикали и по горизонтали световые пятна. Устанавливая в фокальной плоскости различные экраны (фильтрующие маски), можно, закрывая ряд пространственных частот, изменять изображение сетки.
| Фокальная плоскость
плоскость
|
| Рис. 2. Схема эксперимента Аббе-Портера
|
Рассмотрим эту процедуру подробнее. Функция пропускания
T(x) одномерной сетки размером
D c шагом ячейки
d и диаметром проволочки
l имеет вид, представленный на рис. 3, и описывается формулой
,
где N — число штрихов, 
= 
— координата левой границы n -го штриха, 
— функция пропускания 
-го штриха:
.
Из рис. 3 видно, что функция пропускания решётки характеризуется тремя пространственными масштабами: шириной штриха 
, периодом 
и полным размером 
. При интегрировании функции пропускания 
-ого штриха можно заметить, что фаза плоской волны 
состоит из двух слагаемых: первое меняется непрерывно на ширине штриха, второе — дискретно с шагом 
при переходе от одного штриха к другому.
В соответствии с этим, распределение амплитуды светового поля дифракционной картины в дальней зоне имеет вид произведения двух функций:
,
где первый множитель описывает дифракцию на отдельном штрихе и аналогичен выражению, полученному в предыдущем пункте:
.
Второй множитель возникает вследствие суммирования (интерференции) волн, испускаемых штрихами как точечными источниками с координатами , и вычисляется как сумма 
членов геометрической прогрессии:
.
Учитывая, что 
и переходя к интенсивностям светового поля, согласно формуле:
,
получим
. (11)
Здесь введены обозначения:
,
, (12)
| Рис. 3. Функция пропускания одномерной дифракционной решетки
|
. (13)
| Рис. 4. Картина дифракции на одномерной решётке
|
Вид функций
показан на рис. 4. Из рисунка следует, что в структуре дифракционной картины наблюдаются три характерных угловых масштаба:
1) Расстояние между соседними главными максимумами 
. Оно находится из условия, что распространяющиеся в направлении главных максимумов 
волны, которые излучаются точками решётки, разнесёнными на период 
, усиливают друг друга, т. е. их разность фаз кратна 
: 
, или 
, и 
. Здесь 
, а максимальный порядок дифракции 
определяется неравенством 
. Из формулы (13) видно, что для этих направлений 
, т. е. интенсивность суммарного светового поля в главных максимумах действительно возрастает в 
раз, по сравнению с полем одного штриха.
2) Ширина главных максимумов 
, которая для 
-ого максимума находится из условия, что под углом 
наблюдается ближайший минимум, т. е. согласно формуле (13): 
, или 
= 
3) Ширина всей картины 
, определяемая характерной шириной функции 
, т. е. условием 
. Отсюда 
.
Этим трём масштабам (
) в дифракционной картине, представляющей собой Фурье-спектр функции пропускания по переменной 
, соответствуют три пространственных масштаба в самой функции 
: 
, причём, как видно из формул для 
, в соответствии с общими свойствами Фурье-преобразования, каждый масштаб в объекте обратно пропорционален соответствующему масштабу в его спектре.
Экспериментальная часть
1) В лабораторной установке для осуществления опыта Аббе-Портера необходимо измерить параметры Фурье-спектра функции пропускания объекта (мелкоструктурной сетки), т. е. в двумерной картине вида (см. рис. 4) измерить линейное расстояние между максимумами и полный размер спектра. По формулам, приведённым выше, из углового расстояния между максимумами найти период сетки.
Анализируя приведённые данные, установить, какой параметр объекта можно восстановить по измеренной полной ширине спектра, и провести соответствующие вычисления.
2) С помощью измерительного микроскопа получить реальный период сетки и сравнить с измеренным значением.
3) С помощью фильтрующей маски выделить горизонтальные максимумы, установить, как при этом изменилось изображение сетки. Проделать то же самое с вертикальными максимумами. Сделать заключение о возможности управлять видом изображения объекта с помощью масок.
- Контрольные вопросы
1. Как связаны масштабы в функции пропускания объекта и соответствующие масштабы в её Фурье спектре?
2. Если рассматривать данный объект как сумму двух чисел, записанных оптическим методом, то укажите простейший способ получить из суммы каждое из чисел.
2020-05-13
112
