Самостоятельная работа

Формулы простых и сложных процентов. (запишите в тетрадь)

I. Пусть некоторая величина A увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Вводим обозначения: A₀ – первоначальное значение величины A;

р – постоянное количество процентов;

a - процентная ставка; a = р/100 = 0,01·р

A_n – накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) - по формуле простых процентов;

S_n - накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) - по формуле сложных процентов.

Тогда ее значение A₁   для простых процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле: A₁ = A₀ + A₀ · (0,01р) = A₀ (1 + (0,01р) = A₀ (1 + a)

В конце второго этапа A₂= A₁ + A₀ · (0,01р) = A₀ (1 + a) + A₀ · a = A₀ (1 + 2a).

В конце третьего этапа A₃= A₂ + A_{0 ·} (0,01р) = A₀ (1 + 2a) + A₀ · a = A₀ (1 + 3a).

Тогда для простых процентов сумма по годам равна:

 

     или                  (1)

 

II. Для сложных процентов это выглядит иначе:

Пусть некоторая величина S₀ увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Тогда ее значение S₁ для сложных процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле: S₁ = S₀ + S₀ (0,01р) = S₀ · (1 + 0,01р) = S₀ · (1 + a).

В конце второго этапа S₂= S₁ + S₁ (0,01р) = S₁ · (1 + 0,01р) = S₀ (1 + 0,01р)² = S₀ (1 + a)².

В конце третьего этапа S₃= S₂ + S₂ (0,01р) = S₂ · (1 +0,01р) = S₀(1 +0,01р)²·(1 +0,01р)=S₀(1 +0,01р)³ = S₀ (1 + a)³.

Тогда для сложных процентов сумма по годам равна:

			Sn = S0 (1 + a)n
	Sn = S0 (1 + 0,01р)n

                        или                                               (2)

Пример 1.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать накопленную сумму если проценты:

а) простые; б) сложные.

Решение 1.

По формуле простых процентов

Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб.               (отв. 68000 руб.)

По формуле простых процентов

Sn=(1+0.12)³*50 000 = 70246 руб.                  (отв. 70246 руб.)

Формула сложных процентов связывает четыре величины: начальный вклад, накопленную сумму (будущую стоимость вклада), годовую процентную ставку и время в годах. Поэтому, зная три величины, всегда можно найти четвертую:

         S_n = S₀ · (1+0,01р)ⁿ

Для определения количество процентов р необходимо:     

          (2.1)

 

Операция нахождения первоначального вклада S₀, если известно что через n лет он должен составить сумму S_n, называется дисконтированием:                     

                           (2.2)

Сколько лет вклад S₀ должен пролежать в банке под р % годовых, чтобы достигнуть величины S_n.

(2.3)

В банковской практике проценты могут начисляться чаще чем 1 раз в год. При этом банковская ставка обычно устанавливается в пересчете на год. Формула сложных процентов будет иметь вид:

S_n = (1 + a/t)^n∙t S₀                       (3)

где t – число реинвестиций процентов в году.

Пример 2.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать начисленную сумму если проценты начисляются ежеквартально.

Решение 2.

n = 3

t = 4 (в году – 4 квартала)

По формуле сложных процентов

S₃ = (1+0.12/4)^3*4*50000 = 1.03¹²*50000 = 71288 руб.                  Отв. 71288 руб.

Как следует из примеров 1 и 2, накопленная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты.

III. Приведем обобщение формулы (2), когда прирост величины S на каждам этапе свой. Пусть S_о, первоначальное значение величины   S, в конце первого этапа испытывает изменение на р₁%, в конце второго на р₂%, а в конце третьего этапа на р₃% и т.д. В конце n-го этапа значение величины S определяется формулой

         (4)

Пример 3.

Торговая база закупила партию товара у изготовителя и поставила ее в магазин по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на товар 20% выше оптовой. При распродаже магазин снизил эту цену на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел товар за 140 руб. 40 коп.

Решение 3.

Пусть первоначальная цена состовляет S руб., тогда по формуле (4) имеем:

S₀ (1 + 0,01·30)(1 + 0,01·20)···(1 – 0,01·10) = 140,4

S₀·1,3·1,2·0,9 = S₀·1,404 = 140,4

S₀ = 140,4: 1,404 = 100 (руб.)

Находим разность последней и первоначальной цены

140,4 – 100 = 40,4           Отв. 40,4 руб.

  Пройдите по ссылке, посмотрите урок. https://www.youtube.com/watch?v=E37RKlkFAzk

После просмотра урока выполняйте предложенные задания.

У:№№684,685

Самостоятельная работа