2020-05-13
111Практическое занятие №49. Касательная к графику функции
Задание1. Запишите в тетрадь краткий конспект по теме (ниже жирным шрифтом)
Задание2. Разберите устно примеры решения задач (пример1 и пример2)
Задание3. Выполните самостоятельную работу по вариантам.
Если не сможете решить самостоятельную работу, то перепишите оба разобранных примера и пришлите вместе с конспектом (будет оценка 3)
Прямая задается уравнением y =kx +b. Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой.
Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент касательной равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс и значению производной в точке касания.
| k = tg α= f ′(xо) |
Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке xо:
| y = f (xо) + f ′(xо) (x – xо) |
Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y = f ( x ):
| 1. Вычислить f (xо). 2. Вычислить производные f ′(x) и f ′(xо). 3. Внести найденные числа xо, f (xо), f ′(xо) в уравнение касательной и решить его. |
Пример 1. Прямая y= 8x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2 +6x +7. Найдите абсциссу точки касания.
|
|
|
Решение. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, следовательно k=8. Угловой коэффициент касательной – это есть значение производной функции в точке x0; т.е.
.
y=x2 +6x+7; 
Приравниваем производную к числу 8 и решаем уравнение
y ´(x0) = 2x+6 =8, 2x = 8-6; 2x=2, x= 1.
Ответ. 1.
Пример 2. Найдем уравнение касательной к графику функции f (x) = x 3 – 2 x 2 + 1 в точке с абсциссой 
.
Решение.
Следуем алгоритму.
1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f (xо): (подставим 2 вместо x в данную функцию)
f (xо) = f (2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Находим f ′(x). Для этого находим сначала производную:
f ′(x) = 3 х 2 – 2 ∙ 2 х = 3 х 2 – 4 х.
Теперь в это выражение подставляем вместо x= 2, это и будет f ′(xо):
f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f (xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:
у = f (xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4 х – 8 = –7 + 4 х = 4 х – 7.
Ответ. у = 4х – 7.
Самостоятельная работа.
Вариант 1: Гумеров А., Семенов В., Кузнецов А., Расулов М.,
Вариант 2: Нафиков Д., Большаков Г., Гилязев А., Наумов Д., Султанмуратов Т.
Вариант 3: Рогов И., Тихонов В., Гамбаров А., Гильманова Д., Шафиев И.
Вариант 4: Ефимов И., Сагадатгареев Р., Шарапов И., Фазыляхметова Р
| № | Вариант1 | Вариант2 | Вариант3 | Вариант4 | ||
| 1 | Прямаяпараллельна касательной к графику функции y=f(x). Найдите абсциссу точки касания .(по примеру 1) | |||||
| y = -6x-2, y = 3x2 -12x+7 |  , 
| y=-5x+2, y = 3x2+7x+1 | y=4-3x,
y = 2x2-x-12 | |||
| 2 | Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 .(смотрите пример2) | |||||
| 
| 
| 
| |||
