Нахождение производной называют дифференцированием

Итак, чтобы найти производную надо  (алгоритм нахождения производной): 1. Записываем значение функции в точке х0, получаем f (x0) 2. Находим f(x0+Δx) 3. Находим приращение функции Δf=f(x0+Δx)−f(x0) 4. Находим 5. Находим  при условии  (вместо  подставляем 0). Полученная величина и есть производная функции.

Пример 1. Найдём производную для f (x) = с, где с – постоянная величина

 (с = const)

1) f (x₀) = c

2) f (x ₀+Δ x) = c

3) Δ f = f (x ₀+Δ x)− f (x ₀) = 0

4)  = 0

5) f ′ (х₀) = 0

То есть, производная от константы равна нулю:

С′ = 0

Пример 2. Найдём производную для функции f (x) = 2 x + 3

1) f (x ₀) = 2 x ₀ + 3

2) f (x ₀+Δ x) = 2(x ₀+Δ x)+3

3) Δ f = f (x ₀+Δ x)− f (x ₀) =2(x ₀+Δ x) − (2 x ₀+3) = 2 x ₀ + 2Δ x + 3− 2 x ₀ – 3 = 2Δ x

4)  =  = 2

5) f ′ (x) = (2 x + 3)′ = 2

Пример 3. Найдём производную для функции f (x) = k x + b

1) f (x ₀) = k x ₀ + b

2) f (x ₀+Δ x) = k(x ₀+Δ x)+b

3) Δ f = f (x ₀+Δ x)− f (x ₀) =k(x ₀+Δ x) − (k x ₀+b) = k x ₀ + kΔ x + b− k x ₀ – 3b= 2Δ x

4)  =  = 2

5) f ′ (x) = (k x + b)′ = k

(kx + b)′ = k

Пример 4. Найдём производную для функции  y(x) =x​

1) y (x ₀) = x ₀

2) y (x ₀+Δ x) = x ₀+Δ x

3) Δ y = y (x ₀+Δ x)− y (x ₀) = x ₀+Δ x − x ₀= Δ x

4)  =  = 1

5) y′ (x) = (x)′ = 1

x′ = 1

Пример 5. Найдём производную для функции  y(x) =x​²

1) у (x ₀) = x₀ ​²

2) у (x ₀+Δ x) = (х₀+ Δ x)² = х₀²+2х₀ Δ x+ Δ x²

3) Δ у= х₀²+2х₀ Δ x+ Δ x² –x₀ ​² = 2х₀ Δ x+ Δ x²= Δ x (2х₀ + Δ x)

4) 2х₀ + Δ x

5) Величина 2х₀ + Δ x при  0 равна 2х₀, получаем

у′ (x) = (x​²)′= 2х

(x​2)′= 2х

Используя алгоритм нахождения производной функции, можно вывести ряд формул, по которым находится производная различных  функций  и использовать их в дальнейшем.

Таблица производных

Функция  f	Производная функции  f ′
С	0
kx	k
x	1
x 2	2x
x 3	3x2
x n	n·x n-1
	−

 

Производная суммы  (f +g) ′ = f ′ + g ′

(f +g) ′ = f ′ + g ′