Урок: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

1. Прямоугольный треугольник, определение тригонометрических функций

Нарисуем прямоугольный треугольник ∆АВС в котором ∠С = 90⁰, ∠А = α, катет ВС = а, ∠В = β, катет АС = в, гипотенуза АВ = с (см. Рис. 1).

Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике задаются тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.

Рис. 1

Определение:

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к гипотенузе: sinα =

Определение:

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к гипотенузе: cosα =

Определение:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему tgα =

Определение:

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к противолежащему. ctgα =

Кроме того, важный факт касается углов прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90⁰.

Для удобства выпишем выражения для всех сторон треугольника через тригонометрические соотношения.

2. Правила нахождения сторон прямоугольного треугольника

Правило нахождения катета через гипотенузу:

Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего ему угла:

а = с·sinα = с·соsβ; в = с·соsα = с·sinβ

Правило нахождения катета через второй катет:

Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс противолежащего искомому катету угла или на котангенс прилежащего искомому катету угла.

а = в·tgα = в·сtgβ; в = a·сtgα = a·tgβ

3. Основные тригонометрические тождества

Важные тригонометрические соотношения:

sin²α + соs²α = 1– основное тригонометрическое тождество;

Доказательство:

Вспомним теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

АС = a·сtgα = в

Согласно правилу нахождения гипотенузы:

АВ = ;

 

Итак, мы рассмотрели основные соотношения, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Основные формулы, которые связывают тригонометрические функции острого угла.

 

Кроме того, мы рассмотрим решение несколько типовых задач (в тетрадь переписывать не надо).

 

№ 591 а) по условию ВС = 8, АВ = 17 на рисунке ВС = а, АВ = с, тогда

по определению sinα =  = ;

По теореме Пифагора АВ²= АС² + ВС² найдем АС = = = =  = 15, т.е. b = 15 и тогда cosα =  = ; tgα =  =

№ 593 а) по условию cosα =  по определению cosα =  , тогда b = 1, c = 2

используя sin²α + соs²α = 1– основное тригонометрическое тождество имеем: sin²α + = 1, тогда sin²α = 1 -  =  и sinα =  =  по определению sinα = , тогда а =

По определению tgα =  =  =

 

№ 596

По условию с = 24 см, угол α = 35  по определению cosα =  , тогда b = с·cosα = 24·cos35

по определению sinα = , тогда а = с sinα = 24 sin35

β = 90⁰ - α = 90⁰ - 35  = 55⁰

Решить в классной работе № 591 (б), № 592 (а, в), № 593 (г).

Домашнее задание:

§4 пункт 68-69 читать, составить конспект (выписать только формулы и определения), ВЫУЧИТЬ ФОРМУЛЫ!!!!!!, стр.159 ответить устно на вопросы 15-18, решить задачи № 601, № 602, № 603

Отправить Д/З на проверку 07.04.2020. УДАЧИ!!! Если будут вопросы - пишите, звоните!!