Понятие подобия фигур

Тема. Подобие фигур. Площади подобных фигур

1. Прочитайте теоретический материал.

Понятие подобия фигур

Фигуры F и F1 называются подобными, если каждой точке фигуры F можно поставить в соответствие точку фигуры F1 так, что для произвольных точек X и Y фигуры F и соответствующих точек X1 и Y1 фигуры F1 выполняется условие , где k — то же положительное число для всех точек. При этом предполагается, что каждая точка фигуры F1 должна быть поставлена в соответствие какой-нибудь точке фигуры F. Число k называется коэффициентом подобия (рис. 174).

Другими словами: две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Подобие фигур, как и подобие треугольников, обозначают специальным знаком: . Запись F F1 читается как «фигура F подобна фигуре F1».

Из определения подобия фигур следует, что равные фигуры — подобны (коэффициент подобия равен единице).

Свойства подобных фигур

1. 1) Каждая фигура подобна себе (коэффициент подобия равен 1).
2. 2) Если фигура F подобна фигуре F1 с коэффициентом подобия k, то фигура F1 подобна фигуре F с коэффициентом .
3. 3) Если фигура F1 подобна фигуре F2 с коэффициентом подобия k1, а фигура F2 подобна фигуре F3 с коэффициентом подобия k2, то фигура F1 подобна фигуре F3 с коэффициентом подобия k1· k2.
4. 4) Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

.

Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

2. Решите задачи:

1.  Стороны двух правильных n-угольников относятся как а: b. Как относятся их площади?
2.  Площади двух квадратов относятся как 3: 5. Чему равна сторона меньшего квадрата, если сторона большего квадрата равна 10 см?
3.  Площадь меньшего многоугольника равна 45 см2. Чему равна площадь большего многоугольника, подобного данному, если соответствующие стороны многоугольников равны 10 см и 15 см?
4. Периметры подобных многоугольников относятся как 5: 7, а разница площадей равна 864 см². Найдите площади многоугольников.