Решение иррационального неравенства методом интервалов

Метод ин­тер­ва­лов при­ме­ним для ре­ше­ния самых раз­но­об­раз­ных нера­венств, в том числе ир­ра­ци­о­наль­ных.

При­мер 3 – ре­шить нера­вен­ство:

Пе­ре­но­сим х в левую часть и рас­смат­ри­ва­ем ее как функ­цию:

ОДЗ:

Корни:

В дан­ном слу­чае ко­рень можно легко уга­дать. Слева стоит убы­ва­ю­щая функ­ция, спра­ва – воз­рас­та­ю­щая, зна­чит, если урав­не­ние имеет ко­рень, то он един­ствен­ный, таким об­ра­зом, имеем ко­рень

По­ка­жем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и опре­де­лим знаки функ­ции на каж­дом ин­тер­ва­ле:

Рис. 10. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства к при­ме­ру 3

Для опре­де­ле­ния зна­ков берем проб­ные точки:

Здесь важно про­ве­рить зна­че­ния в гра­нич­ных точ­ках. Левая гра­ни­ца ин­тер­ва­ла – это ко­рень урав­не­ния, в дан­ной точке функ­ция равна нулю, зна­чит, ее не нужно вклю­чать в ответ.

Про­ве­рим пра­вую гра­ни­цу:

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли ответ:

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние раз­лич­ных нера­венств ме­то­дом ин­тер­ва­лов, ре­ши­ли неко­то­рые ти­по­вые за­да­чи и по­ка­за­ли ти­по­вые ошиб­ки. Далее пе­рей­дем к си­сте­мам и со­во­куп­но­стям нера­венств.

До­маш­нее за­да­ние

1. Ре­шить нера­вен­ство:

2. По­стро­ить эскиз гра­фи­ка функ­ции:

3. Ре­шить нера­вен­ство:

а) ;

б) ;

в) ;

г)