Список используемой литературы

Содержание.

Введение

1. Вещественная функция

1.1 Определение показательной функции

1.2 Свойства

1.3 Асимптотика

2. Комплексная функция

Литература

 

Введение.

 

Показательная функция — математическая функция , где a называется «основанием», а x — «показателем» степени.

• В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
• В самом общем виде — u^v, введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

 

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть a — неотрицательное вещественное число, x — рациональное число: . Тогда определяется по следующим правилам.

• Если x > 0, то .
• Если x = 0 и , то .
• Значение 0⁰ не определено (см. Раскрытие неопределённостей).
• Если x < 0 и a > 0, то .
• Значение a^x при x < 0, a = 0 не определено.

Для произвольного вещественного показателя x значение a^x можно определить как предел последовательности , где r_n — рациональные числа, сходящиеся к x. Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

 

Свойства

 

График экспоненты

• 
• 
• 
• 

Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

В частности:

Разложение в ряд:

.

 

 

Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

 

 

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для e^ix вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

Таким образом, комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси.

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: ; поскольку (главное значение логарифма), окончательно получаем: .

 

 

Список используемой литературы.

 

1. https://multiurok.ru/files/doklad-primienieniie-stiepiennoi-pokazatiel-noi-lo.html

2. https://myslide.ru/presentation/skachat-pokazatelnaya-funkciya-eyo-primenenie-v-zhizni

3. http://wreferat.baza-referat.ru/Показательная_функция

4. https://knowledge.allbest.ru/mathematics/3c0b65625a2bd68b5c53b88421316d26_0.html