Образец выполнения заданий

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 53

Тема: Решение задач на правильную пирамиду

Краткие теоретические сведения

Площадь поверхности пирамиды. Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

S_полн = S_бок + S_осн

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

Образец выполнения заданий

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO=15 см, BD=16 см. Найдите боковое ребро SA.

 

Дано: SABCD – пирамида ABCD – квадрат SO=15 см BD=16 см Найти: SA

Решение. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат и диагонали BD=AC. Точка пересечения диагоналей O делит эти диагонали пополам, то есть AO=BD:2=8. Найдем боковое ребро SA из прямоугольного треугольника AOS (SO – высота пирамиды). В данном треугольнике известны два катета SO=15 и AO=8. По теореме Пифагора имеем: (см) Ответ: 17 см.

Задача 2. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6 см, а SL = 5 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

 

Дано: SABC – пирамида ∆ABC – равносторонний AL=LC BC = 6 см SL = 5 см Найти:

Решение. Стороны AB=AC=BC=6, так как треугольник ABC – равносторонний (основание правильной треугольной пирамиды). Гранями правильной треугольной пирамиды являются равнобедренные треугольники со сторонами AS=CS=BS. Тогда отрезок SL – высота треугольника ASC. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трех его треугольных граней и равна , откуда (см2) Ответ: 45 см2.

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см, боковое ребро равно 10 см. Найдите ее объем.

Дано: SABCD – пирамида ABCD – квадрат SO = 6 см SA = 10 см Найти: V

Решение. Рассмотрим прямоугольный ∆SAO, в котором известна высота SO=6 см и боковое ребро SA=10 см. Тогда второй катет AO можно найти по теореме Пифагора, имеем: В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат и точка пересечения диагоналей O делит эти диагонали пополам, следовательно, AC=BD=2AO=16. Площадь квадрата можно найти через его диагонали как и объем пирамиды равен (см3) Ответ: 256 см3.

 

Содержание работы

Вариант 1.

Задание 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO=24 см, BD=14 см. Найдите боковое ребро SA.

Задание 2. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 7 см, а SL = 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задание 3. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см, боковое ребро равно 10 см. Найдите ее объем.

Вариант 2.

Задание 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O – центр основания, S – вершина, SO=35 см, BD=24 см. Найдите боковое ребро SA.

Задание 2. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 3 см, а SL = 6 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задание 3. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см, боковое ребро равно 10 см. Найдите ее объем.