Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

1 2 3

Пример: Решите уравнение log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7

ОДЗ: х>0

¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7

7/4 log₂х=7

log₂х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение: + =3 (ответ: х=5/3)

5. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма.

Пример: Решите уравнение log₂ (х +1) - log₂ (х -2) = 2.

ОДЗ:

х+1>0;

х-2>0.    х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log₂ = 2, откуда следует = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 - верно

Ответ: х = 3.

С классом решить следующие уравнения:

а)log₅(х +1) + log₅(х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log₉(37-12х) log_7-2х 3 = 1,

37-12х >0,            х< 37/12,

7-2х >0,                х< 7/2,                х< 7/2,

7-2х≠ 1;                х≠ 3;                    х≠ 3;

log₉(37-12х) / log₃ (7-2х) = 1,

½ log₃(37-12х) = log₃ (7-2х),

   log₃(37-12х) = log₃ (7-2х)²,

   37-12х= 49 -28х +4х² ,

   4х²-16х +12 =0,

    х²-4х +3 =0, Д=19, х₁=1, х₂=3, 3 –посторонний корень.

Ответ: х=1 корень уравнения.

в) lg(х²-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.

(х²-6х+9) >0, х≠ 3,

х-7 >0;          х >7;        х >7.

   lg ((х-3)/(х-7))² = lg9

((х-3)/(х-7))² = 9,

(х-3)/(х-7) = 3,                            (х-3)/(х-7)= - 3,

х- 3 = 3х -21,                               х -3 =- 3х +21,

х =9.                                                  х=6 - посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.

Ответ: 9

Уравнения, решаемые введением новой переменной.

Пример: Решите уравнение lg²х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р²-6р+5=0.

р₁=1, р₂=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

log₆² х + log₆ х +14 = (√16 – х²)² +х²,

16 – х²≥0; - 4≤ х ≤ 4;