Изложение нового материала

1 2

Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

Актуализация опорных знаний.

Устно:

Какая функция называется показательной?
Область значений показательной функции.
Что называется корнем уравнения?
Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4^х?
Сравнить числа 2,7³ и 1.
Что является графиком линейной функции?
Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5^x, 4) у = x³.

3. Математический диктант.

Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).

1.а) является ли убывающей функция y =2^x.
б) является ли возрастающей функция y = (0,3)^x.

2.а) является ли показательным уравнение ?
б) является ли показательным уравнение ?

3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?

4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение a^x = b имеет один корень,
б) верно ли, что если b=0, то уравнение a^x = b не имеет корней.

5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2^x = 8,
б) является ли число 2 корнем уравнения 0,3^x = 0,09.

Изложение нового материала.

Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а^хмонотонна и ее область значений (0,?), то простейшее показательное уравнение а^х=в имеет корень при в>0. Именно к виду а^х=в надо сводить более сложные уравнения.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.

1.Простейшие уравнения: (устно)

а)2^х-5= 16

Приведение обеих частей к общему основанию:

2^х-5= 2⁴

Данное уравнение равносильно уравнению:

х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.

б)3^х= -9

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7^х + 7^х+2= 350
7^х + 7^х7² = 350
7^х(1+ 49) = 350
7^х =350:50
7^х= 7
х = 1
Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

16^х – 17 4^х + 16 = 0

Пусть 4^х = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t² - 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

t₁=1, t₂=16

Если t₁= 1, то 4^х = 1, 4^х= 4⁰, х₁= 0.

Если t₁= 16, то 4^х = 16, 4^х= 4², х₂= 2

Ответ: х₁= 0, х₂= 2.

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15^х + 20^х = 25^х

Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15²+ 20² = 25²

625 = 625

Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

+ = 1

Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.