Основные формулы объемов и площадей поверхностей

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L (Рис. 23).

Рис. 23

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D (Рис. 24).

Рис. 24

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁ (Рис. 25).

Рис. 25

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее с точкой N, лежащей в этой же плоскости (Рис. 26)

X₁N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

Рис. 26

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B (Рис. 27).

Рис. 27

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD₁C₁C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂ (Рис.28);

Рис. 28

Пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃ (Рис. 29);

Рис. 29

Точки X₂ и X₃лежат в плоскости DD₁C₁C. Проведем прямую X₂ X₃, которая пересечет ребро C₁C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD (Рис. 30) MKNTPL - искомое сечение.

Рис. 30

Пример 2

Дано: Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ – призма, M ϵ A₁B₁, N ϵ AD, P ϵ DC

Найти: Сечение ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью проходящей через точки M, N, P

Решение: Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой точке Х. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D, соединим их и получим прямую XN. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A₁B₁C₁D₁, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В₁С₁ в точке Y. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.