Однородные тригонометрические уравнения

Уравнения, сводящиеся к квадратным

 

Отличительные признаки уравнений,  сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.

Алгоритм решения:

– Используются ниже приведённые тождества; с их помощью необходимо выразить одну тригонометрическую функцию через другую:

– Выполняется подстановка.
– Выполняется преобразование выражения.
– Вводится обозначение (например, sin x = y).
– Решается квадратное уравнение.
– Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение.

№1

6cos² x + 5 sin x – 7 = 0.

Решение.

№2

 

 

Для закрепления:

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

 

В-1 Решить уравнения:   а) 4 sin²x + 11 sinx – 3 = 0 б) 2 cos²x – cosx – 1 = 0 в) 3 tg²x – 2 tgx – 1 = 0	В-2 Решить уравнения:   а) 2 sin²x + sinx – 1 = 0 б) 4 tg²x – 11 tgx – 3 = 0 в) cos²x + 2 cosx – 3 = 0
В-3 Решить уравнения:   а) 3 sin²x + 2 sinx – 1 = 0 б) 5 cos²x + 6 sinx – 6 = 0 в) tg²x + tgx – 2 = 0	В-4 Решить уравнения:   а) sin²x – 3 sinx + 2 = 0 б) 4 sin²x + 3 cosx – 3 = 0 в) 2 tg²x + tgx – 1 = 0
В-5 Решить уравнения:   а) 3 cos²x – 5 sinx – 2 = 0 б) 4 sin²x + 3 cosx – 3 = 0 в) 5 sin²x + 6 cosx = 6 г) 6 tg²x + tgx – 1 = 0	В-6 Решить уравнения:   а) 8 sin²x + cosx + 1 = 0 б) 3 sin²x – 5 sinx – 2 = 0 в) 2 tg²x + 3 tgx – 2 = 0 г) 2 cos²x  + cosx = 1

 

Однородные уравнения

 

Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

а sinx + b cosx = 0.

Пусть cosx = 0, тогда sinx = 0, но sin²x+ cos²x=1 -противоречие

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:

а · tgx + b = 0

tgx = –b / а – простейшее тригонометрическое уравнение.

Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).

Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то

2tgx – 3 = 0;

tgx = 3/2;

х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z.

 

 

Уравнение вида a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Пусть cosx = 0, тогда sinx = 0, но sin²x+ cos²x=1 -противоречие

Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:

а tg²x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному.

Вывод: О днородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos²x (sin²x).

Например: 3 sin²x – 4 sinx cosx + cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠ 0, то

3tg²x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно).

Замена: tgx = у. 3у²– 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y₁ = 1 или y₂ = 1/3

tgx = 1 или tgx = 1/3

tgx = 1:

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

tgx = 1/3:

х = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

№1

  √3sinx + cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.

х = –π/6 + πn, n ∈Z.

№2

sin²x – 10 sinx cosx + 21cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠ 0, то tg²x – 10 tgx + 21 = 0

Замена: tgx = у.

у² – 10 у + 21 = 0

у₁ = 7 или у₂ = 3

tg x = 7 или tgx = 3

tg x = 7:

х = arctg 7 + πn, n ∈Z

tg x = 3:

х = arctg 3 + πn, n ∈Z

№3

 sin²2x – 6 sin2x cos2x + 5cos²2x = 0.

Т.к. cos²2x ≠ 0, то 3tg²2x – 6tg2x +5 = 0

Замена: tg2x = у.

3у² – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

у₁= 5 или у₂ = 1

tg2x = 5 или tg2x = 1

tg2x = 5:

2х = arctg5 + πn, n ∈Z

х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

tg2x = 1:

2х = arctg1 + πn, n ∈Z

х = π/8 + π/2 n, n ∈Z

№4

6sin²x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin²x + 4 sinx cosx = 1.

6sin²x + 4 sinx cosx – sin²x – cos²x = 0.

5sin²x + 4 sinx cosx – cos²x = 0.

т.к. cos²x ≠0, то 5tg²x + 4 tgx –1 = 0

Замена:  tg x = у.

5у² + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

у₁ = 1/5 или у₂ = –1

tg x = 1/5 или tg x = –1

tg x = 1/5:

х = arctg1/5 + πn, n ∈Z

tg x = –1:

х = arctg(–1) + πn, n ∈Z

х = –π/4 + πn, n ∈Z

Для закрепления:

 

Однородные тригонометрические уравнения

В-1 Решить уравнения:   а) 7 sin²x + 6 sinx cosx = cos²x б) sin 2x + 2 cos 2x = 1 в) 5 sin²x = 3 sinx cosx + 2 cos²х	В-2 Решить уравнения:   а) sin²x + 14 sinx cosx = 15 б) cos 2x -  sin 2x = 1 в) 3 sin²x + 7 sin 2x = cos²х
В-3 Решить уравнения:   а) 3 sin²x + 2 sinx cosx = 2 б) 7 sin²x + 7 sin 2x + 7 cos²x в) 1 – 4 cos²x = 2 sinx cosx	В-4 Решить уравнения:   а) sin²x + 9 cos²x = 5 sin 2x б) cos²x – 6 sin 2x = 13 sin²x в) 6 sin²x – 3 sinx cosx - cos²x = 0
В-5 Решить уравнения:   а) cos²x + 6 sin 2x – 13 sin²x = 0 б) 3 sin²x + 2 sinx cosx = 2 в) cos 2x + sin2x = 0	В-6 Решить уравнения:   а) 1 – 4 cos²x = 2 sinx cosx б) 7 sin²x + 6 sinx cosx = cos²x в) cos 2x – sin2x = 0