Краткие теоретические сведения

Отчет по практической работе №1

по дисциплине: «Искусственные нейронные сети и нечеткая логика в задачах контроля и управления»

на тему: «Изучение основных операций над нечеткими множествами»

Вариант №1

 

 

Выполнил: студент группы 78-61

ФИО

Проверил: к.т.н., доцент каф. АИТ

Горшкова К. Л.

 

 

Альметьевск, 2020

Цель работы: изучить понятие нечеткого множества и основные операций над нечеткими множествами.

Краткие теоретические сведения

Пусть Е – универсальное множество, х – элемент Е, Р – некоторое свойство. Обычное (четкое) множество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству Р, определяются как множество упорядоченных пар , где  - характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству Р, и 0 – в противном случае.

В теории нечетких множеств для элементов х из Е нет однозначного ответа «да/нет» относительно свойства Р. В связи с этим нечеткое множество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар с функцией принадлежности , принимающей значение в некотором упорядоченном множестве М (например, М=[0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если М={0,1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Основные операции над нечеткими множествами:

1. Включение. Пусть А и B нечеткие множества на универсальном множестве Е. А содержится в B, если . Обозначается

2. Равенство. А и В равны, если . Обозначается

3. Дополнение. Пусть М=[0,1], А и В дополняют друг друга, если . Обозначается  или

4. Пересечение.  - наименьшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:

5. Объединение.  - наибольшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

6. Разность.  с функцией принадлежности

7. Нечеткие отношения. Нечеткое n-мерное отношение определяется как нечёткое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. в случае n =2 и М=[0,1] нечетким отношение R между множествами X=E₁ и Y=E₂ будет называться функция R: (X,Y)→[0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (x,y) X x Y величину

8. Композиция (свертка) двух нечетких отношений. Пусть R₁ – нечеткое отношение R₁: (X x Y)→[0,1] между X и Y, и R₂ – нечеткое отношение R₂: (Y x Z)→[0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z обозначается R₁‧R₂ и определяется как , где  - обозначает операцию выбора наибольшего по y значения называется (max-min)-сверткой отношений R₁ и R₂.

Задание:

Пусть на универсальном множестве E заданы нечеткие множества А, В, С:

Определить, выполняются ли условия:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Рассчитать:

1)

2)

3)

4)

Выполнение работы:

Функции принадлежности:

Определяем, выполняются ли условия:

1)  - включение. Условие:

	>
	>
	=
	<

Данное условие не выполняется, т.е. А не содержится в B.

2)  - включение. Условие:

	<
	<
	<
	<

Данное условие выполняется, т.е. B содержится в C.

3)  - включение. Условие:

	>
	=
	<
	<

Данное условие не выполняется, т.е. A не содержится в C.

4)  - равенство. Условие:

	≠
	≠
	≠
	≠

Данное условие не выполняется, т.е. B и C не равны.

5)  - дополнение. Условие:

		≠
		≠
		≠
		≠

Данное условие не выполняется, т.е. A и B не дополняют друг друга.

6)  - дополнение. Условие:

	≠
	≠
	≠
	≠

Данное условие не выполняется, т.е. C и B не дополняют друг друга.

7)  - дополнение. Условие:

	≠
	≠
	≠
	=

Данное условие не выполняется, т.е. A и C не дополняют друг друга

Рассчитаем:

1)  - пересечение, т.е. наибольшее нечеткое подмножество, содержащее одновременно A и B. Функция принадлежности:

Таким образом,  

2)  с функцией принадлежности

	0.2

Получаем промежуточную функцию принадлежности:

И результат таким образом получается:

3)  с функцией принадлежности

Таким образом,

4)  с функцией принадлежности

Таким образом,

 

Вывод: в ходе выполнения данной работы были изучены понятие нечеткого множества и основные операции над нечеткими множествами.