Основные тригонометрические тождества

Радианная мера угла.

 

Сведения из теории:

Радианная мера

Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Радианная и градусная меры связаны между собой зависимостью180⁰=π радиан; угол в n ⁰=  радиан.

Значения тригонометрических функций могут быть найдены так, как это делалось в курсе геометрии, из прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 1 и по очереди задаваемых углов: 30⁰, 45⁰, 60⁰.

 

Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям:

Номер координатной четверти	I	II	III	IV
sinα	+	+	–	–
cosα	+	–	–	+
tgα	+	–	+	–
ctgα	+	–	+	–

 

Единственная четная функция – косинус

cos(- α)= cos α.

Все остальные основные тригонометрические функции нечетные:

sin(- α)= -sin α;

tg(- α)= -tg α;

сtg(- α)= -сtg α.

 

Таблица 2. Значения основных тригонометрических функций

Радианная мера угла	0								π
Градусная мера угла	00	300	450	600	900	1200	1350	1500	1800
sin α	0				1				0
cos α	1				0				-1
tg α	0		1		–		-1		0
ctg α	–		1		0		-1		–

 

Радианная мера угла								2π
Градусная мера угла	2100	2250	2400	2700	3000	3150	3300	3600
sin α				-1				0
cos α				0				-1
tg α		1		–		-1		0
ctg α		1		0		-1		–

 

Пример

Вычислите: sin405⁰.

Решение:

полный круг – 360⁰ можно «отбросить»:

sin405⁰=sin(405⁰-360⁰)=sin45⁰= .

 

Пример

Выразите в радианной мере значение угла 36⁰.

Решение:

чтобы «перевести» градусную меру угла в радианную, необходимо заданное значение умножить на , т.о. получим

36⁰=

 

Пример

Выразите в градусной мере значение угла .

Решение:

чтобы «перевести» радианную меру угла в градусную, необходимо заданное значение умножить на , т. о. получим

 

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 600; . №2.Вычислите:

2 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 1800; . №2.Вычислите:

3 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 2700; . №2.Вычислите:

Основные тригонометрические тождества.

 

Сведения из теории:

Основные формулы тригонометрии

Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса следуют основные тригонометрические тождества:

sin²α+cos²α=1;

tgα∙ctgα=1;

 

Основой для остальных формул являются формулы сложения:

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

 

Из формул сложения, полагая , где n Є Z, получаем формулы приведения преобразования выражений вида:

sin , cos , tg , ctg , n Є Z.

Для запоминания этих формул удобно пользоваться мнемоническим правилом:

1. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в соответствующей координатной четверти:

2. Функция меняется на «кофункцию», если n нечетно; функция не меняется, если n четно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс, тангенс).

Пример

Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,4 и 0,7.

Решение:

используя основное тригонометрическое тождество sin²α+cos²α=1, имеем:

0,4²+0,7²=0,16+0,49=0,65.

Т.к. 0,65≠1 значения синуса и косинуса одного и того же числа не могут быть равными соответственно: 0,4 и 0,7.

Пример

Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: sinα=-0,8 и π<α<1,5π.

Решение:

используя основное тригонометрическое тождество sin²α+cos²α=1, имеем:

cos²α=1-sin²α, тогда cos²α=1-(-0,8)²=1-0,64=0,36.

Т. к. π<α<1,5π (III координатная четверть), то cosα=-0,6.

По формуле  вычисляем

По формуле tgα∙ctgα=1 вычисляем ctgα=1׃ = .

 

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,5 и 0,5. 2)Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: cosα=  и .

2 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,2 и -0,8. 2)Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: sinα=  и .

3 вариант 1) Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно: 0,6 и -0,8. 2)Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: cosα=  и .