Теорема сложения вероятностей

Суммой случайных событий А и В называется событие А+В, состоящее как из исходов, благоприятствующих событию А, так и из исходов, благоприятствующих событию В. (Исходы, благоприятствующие событиям А и В одновременно, считаются только один раз.)

Понятие суммы распространяется на любое число случайных событий А, В, С и т.д.

Пример: Из орудия произведено 2 выстрела.

Событие А- «Зафиксировано попадание при первом выстреле»,

Событие В- «Зафиксировано попадание при втором выстреле»,

Событие А+В – «Зафиксировано попадание хотя бы при одном из двух выстрелов».

Теорема: Если случайные события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Пример: В урне имеется 30 шаров: 10- красных, 5- синих, 15- белых. Найдите вероятность появления цветного (не белого) шара.

Решение: Пусть событие А- «Случайным образом вынули красный шар», событие В- «Случайным образом вынули синий шар, событие А+В- «Случайным образом вынули красный или синий (цветной) шар». Т. К. события А и В- несовместны, то: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) = + = +  = = =

Случайные события А и В называются противоположными, если они несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

Теорема об умножении вероятностей.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.

Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события

 Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B).

Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Образец:

1. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в мишень, равная 0,8. Какова вероятность того, что выстрелив по мишени один раз, этот стрелок промахнётся?

Решение: Если А–попадание в цель при одном выстреле, то по условию Р(А) =0,8. Противоположное событию А событие А^I –промах, его вероятность Р(А^I)=1 – Р(А) = 1-0,8=0,2

Решить задачу по образцу:

1. В ящике лежат 9 шаров, из которых два белых, 3 красных и 4 зелёных. Наугад берётся один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной (не белый).

2. Необходимо расположить на специальной вероятностной шкале следующие события: достоверные, случайные, невозможные

А = {в следующем году первый снег в Тюмени выпадет в среду}.

В = {свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз}.

С = {при бросании кубика выпадет шестерка}.

D = {при бросании кубика выпадет четное число очков}.

Е = {в следующем году снег в Уренгое не выпадет}.

F = {при бросании кубика выпадет число очков, меньшее семи}.

G = {при бросании кубика выпадет 7-ка}

H = {в слове «жираф» после буквы ж стоит буква и}

I = {при бросании двух кубиков выпало 13 очков}

 

 

Ссылка на сообщество МАТЕМАТИКА в контакте https://vk.com/club194177059