План занятия

1. Определение при помощи тригонометрических операций основных тригонометрических функций y=sinx, y=cosx и y=tgx, y=ctgx

2. Область определения и значения, периодичность, обращение в нуль, сохранение знака, наибольшие и наименьшие значения, промежутки монотонности

Вопрос 1. Определение при помощи тригонометрических операций основных тригонометрических функций y=sinx, y=cosx и y=tgx, y=ctgx
Любому действительному числу соответствует единственная точка на единичной окружности У точки есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).

Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Из определения синуса вытекают очевидные свойства.

На рисунке видно, что т.к. это ордината точки единичной окружности.

Рассмотрим график функции . Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент – это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси соответствующие значения функции.

Например, угол на единичной окружности соответствует точке на графике (рис. 2)

График функции можно получить по формулам приведения поэтому график косинуса – это синусоида, сдвинутая по оси x на влево.

Вопрос 2. Область определения и значения, периодичность, обращение в нуль, сохранение знака, наибольшие и наименьшие значения, промежутки монотонности.

Свойства и графики тригонометрических функций y = sinx

а) Область определения: D (y) = (-∞;+∞)

б) Область значений: E (y) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2π

д) Нули функции: sin x = 0 при x = π n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности:

;

.

з) Экстремумы:

; .

График функции y = sin x

Свойства и графики тригонометрических функций y = cosx

а) Область определения: D (y) = (-∞;+∞)

б) Область значений: E (y) = [ – 1, 1 ].

в) Четность, нечетность: функция четная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 π

д) Нули функции: cos x = 0 при x = + π n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

;
.

.ж) Промежутки монотонности:

;

.

з) Экстремумы:

; .

График функции y = cos x

Свойства и графики тригонометрических функций y = tgx

а) Область определения: D (у) = (-∞;+∞)\ { /2 + n (n Z) }.

б) Область значений: E (у) = (-∞;+∞)

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = π.

д) Нули функции: tg x = 0 при x = π n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = tg x

Свойства и графики тригонометрических функций y = ctgx

а) Область определения: D (у) = (-∞;+∞)\ { n (n Z) }.

б) Область значений: E (у) = (-∞;+∞)

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = π.

д) Нули функции: ctg x = 0 при x = π /2 + π n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства;

; .

ж) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = ctg x