2020-05-25
1131. Определение при помощи тригонометрических операций основных тригонометрических функций y=sinx, y=cosx и y=tgx, y=ctgx
2. Область определения и значения, периодичность, обращение в нуль, сохранение знака, наибольшие и наименьшие значения, промежутки монотонности
Вопрос 1. Определение при помощи тригонометрических операций основных тригонометрических функций y=sinx, y=cosx и y=tgx, y=ctgx
Любому действительному числу 
соответствует единственная точка на единичной окружности 
У точки 
есть единственная ордината, которая и называется синусом числа (рис. 1).
Каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Из определения синуса вытекают очевидные свойства.
На рисунке видно, что 
т.к. 
это ордината точки единичной окружности.
Рассмотрим график функции 
. Вспомним геометрическую интерпретацию аргумента. Аргумент – это центральный угол, измеряемый в радианах. По оси мы будем откладывать действительные числа или углы в радианах, по оси 
соответствующие значения функции.
Например, угол 
на единичной окружности соответствует точке 
на графике (рис. 2)
График функции 
можно получить по формулам приведения 
поэтому график косинуса – это синусоида, сдвинутая по оси x на 
влево.
Вопрос 2. Область определения и значения, периодичность, обращение в нуль, сохранение знака, наибольшие и наименьшие значения, промежутки монотонности.
Свойства и графики тригонометрических функций y = sinx
а) Область определения: D (y) = (-∞;+∞)
б) Область значений: E (y) = [ – 1, 1 ].
в) Четность, нечетность: функция нечетная.
г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2π
д) Нули функции: sin x = 0 при x = π n, n 
Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
; 
.
ж) Промежутки монотонности:
;
.
з) Экстремумы:
; 
.
График функции y = sin x
Свойства и графики тригонометрических функций y = cosx
а) Область определения: D (y) = (-∞;+∞)
б) Область значений: E (y) = [ – 1, 1 ].
в) Четность, нечетность: функция четная.
г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 π
д) Нули функции: cos x = 0 при x = 
+ π n, n Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
;
.
.ж) Промежутки монотонности:
;
.
з) Экстремумы:
; 
.
График функции y = cos x
Свойства и графики тригонометрических функций y = tgx
а) Область определения: D (у) = (-∞;+∞)\ { 
/2 + n (n Z) }.
б) Область значений: E (у) = (-∞;+∞)
в) Четность, нечетность: функция нечетная.
г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = π.
д) Нули функции: tg x = 0 при x = π n, n Z.
е) Промежутки знакопостоянства:
; 
.
ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.
з) Экстремумы: нет.
График функции y = tg x
Свойства и графики тригонометрических функций y = ctgx
а) Область определения: D (у) = (-∞;+∞)\ { n (n Z) }.
б) Область значений: E (у) = (-∞;+∞)
в) Четность, нечетность: функция нечетная.
г ) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = π.
д) Нули функции: ctg x = 0 при x = π /2 + π n, n Z.
е) Промежутки знакопостоянства;
; 
.
ж) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.
з) Экстремумы: нет.
График функции y = ctg x
