Фото/скан конспекта и решения зада домашнего задания присылать преподавателю

Тема: Решение задач

На нахождение элементов цилиндра и конуса

 

 

Вопросы темы:

Решение задач на нахождение элементов цилиндра.

Решение задач на нахождение элементов конуса.

Домашнее задание.

 

 

Прежде чем приступить к решению задач по нахождению элементов цилиндра и конуса, необходимо повторить из предыдущих тем, посвященных понятиям цилиндра и конуса, перечень всех элементов данных тел вращения, вспомнить их место в строении данных геометрических тел и их значение.

 

 

Вопрос 1. Решение задач

На нахождение элементов цилиндра

 

Дано:

Решение:

1. Четырехугольник ABCD – прямоугольный, так как на схеме представлен прямой круговой цилиндр.

2. Отсюда следует, что треугольник CBD – прямоугольный (угол D – прямой), в котором катет BD известен по условию, а катет CD необходимо вычислить.

3. Так как, по условию, радиус основания цилиндра r = 2 м, то диаметр основания цилиндра CD = 4 м.

4. Рассмотрим прямоугольный ∆CDВ, в котором:

- катет CD является диаметром цилиндра;

- катет BD является образующей цилиндра, которая в прямом круговом цилиндре равна высоте цилиндра.

5. Из п.3 решения известно, что CD = 4 м.

6. По условию задачи BD = 3 м.

7. В прямоугольном ∆CDВ найдем искомую величину – диагональ осевого сечения цилиндра СВ.

8.  В прямоугольном ∆CDВ по теореме Пифагора находим требуемую величину СВ, которая является гипотенузой данного треугольника:

СВ2 = CD2 + BD2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25

CB = √25 = 5.

 

Ответ: 5 м.

 

 

Задача 2

Задача 3

 

 

 

Вопрос 2. Решение задач

На нахождение элементов конуса

 

Задача 1

Дано: Прямой круговой конус РАВ,

Высота конуса ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис. 7).

Найти: образующую конуса РВ.

Решение:

1. ΔРОВ является прямоугольным, угол О – прямой так как, по условию, конус РАВ – прямой.

2. В прямоугольном ΔРОВ, по условию, известны:

- катет ОР = 15 см;

- катет ОВ = 8 см (катет ОВ является радиусом основания конуса, так как в прямом конусе высота конуса попадает в центр основания – центр круга).

3. В прямоугольном ΔРОВ по теореме Пифагора находим неизвестную гипотенузу РВ:

Ответ: 17 см.

Задача 2

Дано: (Рис.1)

SAB – прямой круговой конус,

КМ – хорда основания конуса, КМ = 4,

SKM – плоскость сечения – треугольник, проходящий через вершину прямого конуса S и хорду его основания КМ,

КО – радиус основания конуса r =6,

SO – высота конуса равна 8.

Найти: Расстояние от центра основания конуса О до плоскости сечения SКМ.

 

Решение:

Рис. 1. Сечение конуса

Рис. 2. Конус и фигура (треугольник) в основании конуса

1. В основании конуса построим равнобедренный треугольник КОМ (радиусы КО и МО равны).(Рис.2).

2. В ∆КОМ  (Рис.2):

- хорда КМ в плоскости сечения равна 4 (из условия),

- радиус КО и МО равны 6

- проведем высоту ОН, которая разделит сторону КМ (хорду) на две равные части, так как ∆КОМ – равнобедренный,

- в ∆КОМ получим два прямоугольных треугольника МНО и КНО (угол Н - прямой).

3. В одном из этих прямоугольных треугольников по теореме Пифагора вычислим катет ОН (высота ∆КОМ):

ОН = √ОК² - НК² = √6² - 2² = √36 – 4 = √32 = 4√2.

4.Рассмотрим прямоугольный ∆SОH, где вершина треугольника S – вершина конуса, вершина треугольника О – центр основания конуса (прямой угол данного треугольника), вершина этого треугольника Н – середина хорды основания конуса (Рис.3).

Рис. 3. Конечный рисунок

Докажем, что в прямоугольном ∆SОH высота ОР, опущенная на его гипотенузу HS – это и есть искомое расстояние от центра основания О до секущей плоскости SKM.

Во-первых, ОР┴SH – по построению.

Во-вторых, плоскость SOH┴MK, так как МК┴ОН и МК┴SН, а значит, МК┴ОР.

Следовательно, ОР – искомое расстояние.

В ∆SОH по теореме Пифагора гипотенуза SH = √96 = 4 √6.

 

А тогда .

Ответ: .

 

Вопрос 3. Домашнее задание

 

Задание 1

По данным на изображении осевого сечения цилиндра вычислите значение образующей l:

 

Задание 2

Радиус основания цилиндра N м, высота 3 м.

Найдите диагональ осевого сечения. Сделайте рисунок.

 

Задание 3

Радиус основания конуса равен N, а образующая конуса равна 2N. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания. Сделайте сопутствующий рисунок.

 

Задание 4* (для желающих)

Хорда длиной, лежащая в нижнем основании цилиндра, видна из центра верхнего основания под углом 45⁰ .

Радиус основания равен N, высота цилиндра равна N√2.

Найдите длину хорды. Приведете сопутствующий рисунок.

 

Где N – номер студента в классном журнале.

 

Фото/скан конспекта и решения зада домашнего задания присылать преподавателю.