2020-05-25
951. Простейшее логарифмическое уравнение 
имеет решение 
.
Пример 1. Решите уравнение 
.
Решение. Находим область допустимых значений (ОДЗ): 
.
Уравнение является простейшим логарифмическим уравнением, следовательно, имеет решение:
.
Полученный корень удовлетворяет области допустимых значений.
Ответ: 5.
2. Для логарифмических уравнений, так же, как и для показательных уравнений, используется приём приведения обеих частей уравнения к одному основанию, а затем уравнение вида 
, где 
приводится к равносильной системе
с помощью метода потенцирования.
Пример 2. Решите уравнение 
.
Решение. Находим ОДЗ из системы:
.
Таким образом, областью допустимых значений x является промежуток 
. Решаем уравнение 
. С помощью потенцирования получаем квадратное уравнение 
, т.е. 
, корнями которого являются числа 
и 
. Корень не принадлежит ОДЗ.
Ответ: 5.
Пример 3. Решите уравнение 
.
Решение. ОДЗ: 
Приводим все логарифмы, входящие в уравнение, к одному основанию:
.
Корень x=64 удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 64.
3. Уравнения второй и более высоких степеней относительно логарифма решаются методом замены переменной 
.
Пример 4. Укажите сумму корней уравнения 
.
Решение. ОДЗ: 
.
Преобразуем правую часть уравнения, переходя к основанию 2: 
. Решаем преобразованное уравнение 
с помощью замены переменной 
. Получаем уравнение 
. Корнями данного уравнения являются числа 
, 
и 
. Делаем обратную замену:
.
Корень 
не удовлетворяет ОДЗ. Сумма корней уравнения 
равна 32,25.
Ответ: 32,25.
Пример 5. Решите уравнение 
.
Решение. ОДЗ: .
Используем свойства логарифмов: 
, 
.
Тогда получаем уравнение 
, делаем замену 
и решаем иррациональное уравнение:
Корни квадратного уравнения 
, 
. Делаем проверку. При правая часть уравнения 
отрицательна, следовательно, не является корнем уравнения. Подставляя в уравнение, получаем 
. Таким образом, является корнем уравнения. Тогда 
Ответ: 16.
4. Уравнения вида 
решаются методом логарифмирования. Эти уравнения приводится к виду 
при условии 
и 
. Основание логарифма a выбирается по виду конкретного уравнения.
Пример 6. Найдите сумму корней уравнения 
.
Решение. ОДЗ: .
Логарифмируем по основанию 5 обе части уравнения:
.
Введём новую переменную 
, тогда уравнение примет вид 
. Делаем обратную замену:
Сумма корней уравнения равна 30.
Ответ: 30.
5. Уравнение может содержать и показательную, и логарифмическую функции, а также композицию этих функций.
Пример 7. Найдите наименьший корень уравнения 
.
Решение. ОДЗ: 
.
Получаем совокупность двух уравнений и решаем каждое из них:
Значение 
, таким образом, уравнение имеет два корня 
.
Ответ: -0,6.
6. Некоторые логарифмические уравнения решаются графически. При этом находятся точки пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой части уравнения.
Пример 8. Решите графически уравнение 
. Укажите промежуток, в котором находится его корень.
1) (-2;-1)
2) (-1;0)
3) (0;1)
4) (1;2)
Решение. Функция 
возрастает, а функция 
убывает для всех 
, следовательно, графики этих функций имеют одну точку пересечения. Строим графики и определяем промежуток, содержащий корень уравнения 
.
Ответ: 2).
7. При решении систем логарифмических уравнений используются приемы решения систем алгебраических уравнений, свойства логарифмов и приемы решения логарифмических уравнений.
Пример 9. Найдите значение выражения x+y, если (x;y) – решение системы 
Решение. ОДЗ: 
.
Из второго уравнения системы выражаем 
и подставляем это выражение в первое уравнение. Решаем полученное логарифмическое уравнение:
.
Из последнего уравнения находим значение x=3 и подставляем его в уравнение . Получаем y=0,25. Таким образом, x+y = 3,25.
Ответ: 3,25.
Приведём теперь более сложные задания, в которых требуется решить логарифмические уравнения.
Пример 10. Найдите все значения x, при каждом из которых выражения 
и 
принимают равные значения.
Решение. Согласно условию задачи 
. Находим ОДЗ: 
. Используя свойства логарифмов, решаем полученное уравнение:
Значение 
, следовательно, не является корнем уравнения.
Ответ: 0; 0,3.
Пример 11. Решите систему уравнений:
Решение. Область допустимых значений 
определяется следующими условиями:
Упрощаем первое уравнение системы:
.
Подставляем 
во второе уравнение системы:
.
Находим значения y. Если 
, то 
, если 
, то 
. Получаем решение системы (-5;-10).
Ответ: (-5;-10).
Задачи.
1. Решите уравнения:
1) 
;
2) 
;
3) 
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
13) 
;
14) 
.
2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 
1) 
2) [-1;2]
3) (2;5]
4) 
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 
1) 
2) 
3) 
4) 
4. Сумма корней уравнения 
равна
1) 4
2) 2
3) -4
4) -2
5. Если 
точка пересечения графиков функций 
и 
, то значение 
равно
1) 1
5) -1
9) 5
2) 2
6) -2
10) -5
3) 3
7) -3
11) 6
4) 4
8) -4
12) -6
6. Наибольший корень уравнения 
равен
1) 10
5) 16
9) 13
2) 20
6) 18
10) 25
3) 12
7) 8
11) 27
4) 14
8) 11
12) 29
7. Наибольший корень уравнения 
равен
1) 10
5) 100
9) -1
2) 1
6) 0,1
10) – 20
3) 1000
7) 0,01
11) 17
4) – 10
8) -100
12) -17
8. Корень уравнения 
принадлежит промежутку
1) (-10;-8)
5) (-1;0)
2) (8;10)
6) (0;1)
3) (5;7)
7) (2;3)
4) (-7;-5)
8) (-3;-2)
9. Произведение корней уравнения 
равно
1) 0
5) -6
2) 3
6) 9
3) -3
7) -9
4) 6
8) 1
10. Найдите наибольший корень уравнения 
.
11. Произведение корней уравнения 
равно
1) 9 2) 3 3) 27 4) 
12. Корень уравнения 
принадлежит промежутку
1) (-1;0)
5) (0;1)
2) (2;4)
6) (0;2)
3) (15;17)
7) (-2;0)
4) (4;6)
8) (-4;-2)
13. Решите уравнение 
.
14. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения 
.
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
15. Найдите произведение корней уравнения 
1) -6
5) 1
2) -1
6) 0
3) 3
7) -3
4) 5
8) -5
16. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения 
равна
1) -6
5) 4
2) -4
6) 6
3) 8
7) -8
4) 2
8) -2
17. Найдите сумму корней уравнения 
.
18. Найдите наибольший корень уравнения 
.
19. Найдите произведение всех корней уравнения 
.
20. Найдите сумму всех корней уравнения 
.
21. Решите графически уравнение 
. Укажите промежуток, в котором находится его корень.
1) (-2;-1)
2) (-1;0)
3) (0;1)
4) (1;2)
22. Решите графически уравнение 
. Укажите промежуток, в котором находится его корень.
1) (-3;-2)
2) (-2;-1)
3) (0;1)
4) (1;2)
23. Решите уравнение 
24. Найдите все значения x, при каждом из которых выражения 
и 
принимают равные значения.
25. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
.
26. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
.
27. Если 
- решение системы уравнений 
то произведение 
равно
1) 2
5) 4
9) 5
2) 1
6) -4
10) -5
3) -2
7) 3
11) 0
4) -1
8) -3
12) 25
28. Найдите значение выражения x+y, если (x;y) – решение системы 
29. Решите системы уравнений:
1) 
2) 
