Тема 13. Векторы и их геометрические приложения

Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат OXYZ, то каждой точке пространства поставлена в соответствие тройка чисел (x; y; z) – координаты точки. Рассмотрим две точки пространства  и .

Определение 1. Направленный отрезок  называют вектором.

Если вектор  имеет координаты (x; y; z), то справедливо равенство

,                                                 (1)

где ,  и  - единичные векторы координатных осей OX, OY и OZ.

Пусть , , тогда координаты вектора  равныразностям соответствующих координат его конца и начала:

.                                 (2)

Пример 1. Найдите координаты вектора , если , .

Решение. По формуле (2) получаем:

, , , .

Ответ: .

Длина вектора  определяется по формуле:

.                    (3)

По формуле (3) находится также длина отрезка AB.

Координаты точки , делящей отрезок AB в отношении  определяются по формулам:                         .                      (4)

В частности, при делении отрезка пополам, т.е. когда , получаем:

.                      (5)

Пример 2. Постройте точки  и . Найдите точку , делящую отрезок AB в отношении .

Решение. Используем формулы (4) при условии, что :

, .

Получаем координаты точки .

Ответ: .

Пример 3. В треугольнике с вершинами   A (1,-1,2), B (3,0,2) и C (-1,2,0) длина медианы AD равна

1)                                 2) 5                          3) 3                          4)

Решение. По формулам (5) находим координаты середины отрезка BC:

.

Таким образом, координаты точки D (1,1,1), тогда длину медианы AD определяем, используя формулу (3):

.

Ответ: 1).

Пусть заданы векторы ,  тогда

,                      (6)

.                                        (7)

Таким образом, , . Следовательно, при сложении (вычитании) двух векторов их соответственные координаты складываются (вычитаются). При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Пример 4. Даны точки A (-1;2;1), B (3;-1;2), C (1;2;-1). Найдите сумму координат точки M (x; y; z), если .

1) -1

2) 2

3) 0

4) -6

Решение. По формуле (2) получаем , , . Тогда по формуле (7) , . Вычитаем и складываем координаты векторов, используя формулу (6):

 

.

Так как , значения x, y, z определяем, решая систему:

Сумма координат точки M (-5;2;-5) равна x + y + z = 5 + 2 - 5 = 2.

Ответ: 2).

Определение 2. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (обозначается  или ):                                                           .                                                  (8)

Если векторы  и  заданы своими координатами, т.е.  и , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

,                                           (9)

откуда следует

,                                                (10)

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Так как по определению скалярного произведения , то косинус угла между векторами  и  находится по формуле:

.                           (11)

Пример 5. Даны четыре точки A (-1;3), B (-2;2), C (-4;1), D (3;4). Найдите скалярное произведение .

Решение. Находим координаты векторов, используя формулы (2) и (6):

, , , , .

Тогда по формуле (9) получаем: .

Ответ: -4.

Пример 6. Определите угол между векторами  и .

Решение. По формуле (1) запишем координаты векторов , . Затем по формуле (11) находим косинус угла между данными векторами , тогда .

Ответ: .

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  и  имеет вид   или в координатной форме:

.                                                    (12)

Пример 7. Найдите произведение  при условии, что векторы  и  коллинеарны.

Решение. По формуле (13) получаем: .

Ответ: -4.

Пусть вектор  перпендикулярен вектору , тогда , и наоборот. Следовательно, необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов  и  имеет вид:                                   .                                                (13)

Пример 8. Найдите значение , если векторы  и  взаимно перпендикулярны.

Решение. По формуле (14) получаем .

Ответ: -6.

Задачи.

1. Даны векторы ,  и . Найдите координаты вектора: а) ; б) .

2. Даны точки A (2;-1;-3), B (-4;1;3), C (1;6;4). Найдите сумму координат точки , если .

1) 10

2) 37

3) 26

4) -14

3. Даны точки A (4;-1;2), B (-2;1;3), C (3;4;-1). Найдите сумму координат точки , если .

1) 14

2) 3

3) 4

4) 17

4. Даны векторы  и . Тогда длина вектора равна

1)

2) 8

3)

4)

5. Даны векторы  и . Тогда длина вектора равна

1)

2)

3)

4)

6. Даны векторы , ,  и . Вычислите скалярное произведение: а) ; б) ; в) .

7. Даны векторы , ,  и . Вычислите скалярное произведение: а) ; б)

8. Даны четыре точки A (3;-1), B (2;2), C (1;-3), D (-1;-2). Найдите скалярное произведение .

9. Косинус угла между векторами  и  равен

1)

2)

3)

4)

10. Косинус угла между векторами  и  равен

1)

2)

3)

4)

11. Найдите угол между векторами  и , если ,

12. Найдите , если , ,

13. Найдите  если , , .

14. Даны векторы  и . Найдите сумму , если точки A, B и C лежат на одной прямой.

15. Коллинеарны ли векторы: а)  и ; б)  и .

16. Коллинеарны ли векторы  и .