Закрепление нового материала

Ход урока

Повторение пройденного материала.

Ответить на вопросы по графику функции

1) Назвать критические точки функции.

2) Все ли они являются точками экстремума?

3) В каких точках производная равна 0? Почему?

4) Назвать промежутки возрастания и убывания функции.

5) Назвать промежутки, где f´(х)<0, f´(х)>0.

6) Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна, отрицательна.

Ответить на вопросы по тому же графику, считая, что это график производной некоторой функции.

1) Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна, отрицательна.

2) Назвать точки максимума и минимума.

3) Определить количество касательных к графику функции, у которых угловой коэффициент равен 2.

4) Определить количество касательных к графику функции, которые составляют с положительным направлением оси ОХ угол 135°.

Изучение нового материала.

По графику функции (тот же рисунок) найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках:

1. на [-1;1]; т. к. функция на этом отрезке возрастает, то её наибольшее и наименьшее значения это значения в концах отрезка: f(-1) = 0 - наименьшее значение, f(1) = 3 - наибольшее значение;
2. на [4;8]; т.к. функция на этом отрезке убывает, то её наибольшее и наименьшее значения это значения в концах отрезка: f(8) = -4 - наименьшее значение, f(4) = 4 - наибольшее значение;
3. на [-1;8]; функция на этом отрезке достигает наибольшего значения в точке максимума - f(4) = 4; наименьшее значение на конце отрезка – f(8) = -4;
4. на [-1;2]; функция на этом отрезке имеет единственную критическую точку, которая является точкой максимума, то значение функции в этой точке – наибольшее; наименьшее значение на конце отрезка.

Вместе с учащимися составить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции у=f(х) на отрезке [a;b] с помощью производной.

I. Найти производную данной функции, если f´(х) ≤0 для всех х из области определения данной функции, то f(а) - наибольшее значение, f(b) - наименьшее значение функции.

II. Найти производную данной функции, если f´(х) ≥0 для всех х из области определения данной функции, то f(b) - наибольшее значение, f(а) - наименьшее значение функции.

III. 1) Найти производную данной функции.

2) Найти критические точки функции.

3) Выбрать х_кр [a;b].

4) Вычислить: f(а), f(х_кр), f(b).

5) Выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Закрепление нового материала.

Выполнить № 937 из учебника «Алгебра и началаматематического анализа» 10-11кл. под редакцией Ш.А.Алимова

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х⁴ - 8х² - 9 на отрезке [0;3].

1. f´(х) = 4х³ - 16х = 4х(х – 2)(х + 2), D(f´) = R.
2. f´(х) = 0 при х = 0, х = 2, х = -2. -2, 0, 2 - критические точки.
3. -2 [0;3], 0 [0;3], 2 [0;3].
4. f(0) = - 9

f(2) = 16 - 32 - 9 = -25 - наименьшее значение функции

f(3) = 81- 72 – 9 = 0 - наибольшее значение функции

Ответ: -25; 0.

В11 № 3383 из «Открытого банка заданий ЕГЭ по математике».

Найдите наименьшее значение функции у = (х-8)е^x-7 на отрезке [6;8].

1) у´ = е^x-7(х - 7), D(у´) = R.

2) у´ = 0 при х = 7.

3) 7 [6;8].

I способ

у(6) = -(2/ e)

у(7) = -1 - наименьшее значение функции

у(8) = 0

II способ

Т.к.у´(6,5)< 0 и у´(7,5) > 0,то х_min = 7

Т.к. на отрезке [6;8] функция имеет единственную критическую точку, которая является точкой минимума, то значение функции в этой точке – наименьшее; у(7) = -1 – наименьшее значение функции.

Ответ: -1.

Задание 1

Прямая y = 7x + 11 параллельна касательной к графику функции y = x² + 8x + 6.. Найдите абсциссу точки касания.

Задание B8 2)

Прямая y = -4x - 11 является касательной к графику функции y = x³ + 7x² - 6. Найдите абсциссу точки касания.

Задание 3)

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-6;5]. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Задание 4

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-4;10]. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задание 5

Найдите наименьшее значение функции y = (x - 10) e ^x-9 на отрезке [8;10].

Проверка решений в группах, разбор заданий.

6. Самостоятельная работа (4 варианта на 10–15 мин).

Вариант

Задание B8 (№ 6059)

Прямая н = -6x - 2 является касательной к графику функции y = x³ - 5x² + x - 5. Найдите абсциссу точки касания.

Задание 1

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-5;6]. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задание 2

Найдите наименьшее значение функции y = (x - 14) e ^x-13 на отрезке [12;14].

Вариант

Задание 1

Прямая y = 2x + 5 является касательной к графику функции y = x³ - 4x² + 6x + 5. Найдите абсциссу точки касания.

Задание 2

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-7;6]. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Задание 3

Найдите наименьшее значение функции y = (x - 19) e ^x-18 на отрезке [17;19].

Вариант

Задание 1

Прямая y = 7x + 9 является касательной к графику функции y = x³ - 2x² + 8x + 9. Найдите абсциссу точки касания.

Задание 2

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-2;10]. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Задание 3

Найдите наименьшее значение функции y = (x - 21) e ^x-20 на отрезке [19;21].

Вариант

Задание1

Прямая y = -5x +14 является касательной к графику функции y = x³ + 3x² - 2x + 15. Найдите абсциссу точки касания.

Задание 2

На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале [-6;8]. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задание 3

Найдите наименьшее значение функции y = (x - 23) e ^x-22 на отрезке [21;23].

Дополнительное задание из сборника типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010, ФИПИ, под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко (С1 из вар. № 3 и вар. № 4)

7. Разбор самостоятельной работы (ответы показать на экране).

1 вар.: 1) 1; 7/3 2) 4 3) у(13) = -1. Ответ: -1.

2 вар.: 1) 2; 2/3 2) 5 3) у(18) = -1. Ответ: -1.

3 вар.: 1) 1; 1/3 2) 5 3) у(20) = -1. Ответ: -1.

4 вар.: 1) -1 2) 4 3) у(22) = -1. Ответ: -1.

8. Домашнее задание§52разобрать задачи 1-3№938(1).