Тема. Формулы приведения

Если в качестве аргумента тригонометрической функции выступает выражение +t, −t,π+t,π−t, +t, −t и вообще любое выражение вида ±t, где n∈ Z, то такое тригонометрическое выражение можно привести к более простому виду, когда в качестве аргумента тригонометрической функции будет выступать только аргумент t. Соответствующие формулы называют формулами приведения.

Таблица формул приведения:

β	+t	π+t	+t	−t	π−t	−t	2π−t
sinβ	cost	−sint	−cost	cost	sint	−cost	−sint
cosβ	−sint	−cost	sint	sint	−cost	−sint	cost
tgβ	−ctgt	tgt	−ctgt	ctgt	−tgt	ctgt	−tgt
ctgβ	−tgt	ctgt	−tgt	tgt	−ctgt	tgt	−ctgt

Формул приведения очень много. Таблицей пользоваться не всегда удобно. Запомнить их трудно — но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило — и легко можно самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.

1. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида π+t,π−t, +t,2π−t, то наименование тригонометрической функции следует сохранить;

2. если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида +t, −t, +t, −t, то наименование тригонометрической функции следует изменить (на родственное);

3. перед полученной функцией от аргумента t надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0<t< .

Это правило используется и в тех случаях, когда аргумент задан и в градусах, т. е. когда в качестве аргумента тригонометрической функции выступает выражение вида 90°+t,90°−t,180°+t,180°−t и т. д.

Пример 1: Преобразуем cos( +t).

Наименование функции изменяется на sint. Далее из того, что 0<t< , следует, что +t — аргумент из второй четверти, а в ней преобразуемая функция косинуса имеет знак «минус». Этот знак надо поставить перед полученной функцией. Таким образом, cos( +t)=−sint.

Пример 2. Надо преобразовать выражение sin( −t).

Для решения данного задания воспользуемся таблицей формул приведения:

Нас интересует только часть таблицы:

β	+t	π+t	+t	−t	π−t	−t	2π−t
sinβ	cost	−sint	−cost	cost	sint	−cost	−sint
	90°+t	180°+t	270°+t	90°−t	180°−t	270°−t	360°−t

Нам необходимо преобразовать выражение sin( −t). Смотрим по таблице. И получаем ответ cost. Значит, sin( −t) = cost.

Пример 3. Найди значение выражения ctg330°:

Нас интересует только часть таблицы:

β	90°+t	180°+t	270°+t	90°−t	180°−t	270°−t	360°−t
tgβ	−ctgt	tgt	−ctgt	ctgt	−tgt	ctgt	−tgt
ctgβ	−tgt	ctgt	−tgt	tgt	−ctgt	tgt	−ctgt

Преобразуем выражение ctg330° = ctg(360°−30°)=−ctg30°. Наименование функции не меняется. Знак «минус». Используем таблицу значений и получаем ответ:− .